Question

Encontre o posto da seguinte matriz ​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

O posto de uma matriz é igual ao número de linhas não nulas quando a escrevemos na forma escada.

Dizemos que uma matriz está na forma escada se:

1) Toda linha nula está abaixo de toda linha não nula.

2) O primeiro elemento não nulo de toda linha não nula (pivô) é igual a 1.

3) Se uma coluna tem um pivô, então todos os outros elementos dessa coluna são iguais a 0.

4) Se as linhas i e j têm pivôs, com i < j, então o pivô da linha j está à direita do pivô da linha i.

$\sf \Big[\begin{array}{ccc} \sf 1 & \sf 5 & \sf 1 \\ \sf 0 & \sf 3 & \sf 9 \\ \sf -1 & \sf 0 & \sf 0 \end{array}\Big]~\Longrightarrow^{L_1+L_3~\Rightarrow~L_3}~\Big[\begin{array}{ccc} \sf 1 & \sf 5 & \sf 1 \\ \sf 0 & \sf 3 & \sf 9 \\ \sf 0 & \sf 5 & \sf 1 \end{array}\Big]$

$\sf \Big[\begin{array}{ccc} \sf 1 & \sf 5 & \sf 1 \\ \sf 0 & \sf 3 & \sf 9 \\ \sf 0 & \sf 5 & \sf 1 \end{array}\Big]~\Longrightarrow^{\frac{1}{3}\cdot L_2~\Rightarrow~L_2}~\Big[\begin{array}{ccc} \sf 1 & \sf 5 & \sf 1 \\ \sf 0 & \sf 1 & \sf 3 \\ \sf 0 & \sf 5 & \sf 1 \end{array}\Big]$

$\sf \Big[\begin{array}{ccc} \sf 1 & \sf 5 & \sf 1 \\ \sf 0 & \sf 1 & \sf 3 \\ \sf 0 & \sf 5 & \sf 1 \end{array}\Big]~\Longrightarrow^{L_3-5\cdot L_2~\Rightarrow~L_3}~\Big[\begin{array}{ccc} \sf 1 & \sf 5 & \sf 1 \\ \sf 0 & \sf 1 & \sf 3 \\ \sf 0 & \sf 0 & \sf -14 \end{array}\Big]$

$\sf \Big[\begin{array}{ccc} \sf 1 & \sf 5 & \sf 1 \\ \sf 0 & \sf 1 & \sf 3 \\ \sf 0 & \sf 0 & \sf -14 \end{array}\Big]~\Longrightarrow^{\frac{-1}{14}\cdot L_3~\Rightarrow~L_3}~\Big[\begin{array}{ccc} \sf 1 & \sf 5 & \sf 1 \\ \sf 0 & \sf 1 & \sf 3 \\ \sf 0 & \sf 0 & \sf 1 \end{array}\Big]$

$\sf \Big[\begin{array}{ccc} \sf 1 & \sf 5 & \sf 1 \\ \sf 0 & \sf 1 & \sf 3 \\ \sf 0 & \sf 0 & \sf 1 \end{array}\Big]~\Longrightarrow^{L_1-5\cdot L_2~\Rightarrow~L_1}~\Big[\begin{array}{ccc} \sf 1 & \sf 0 & \sf -14 \\ \sf 0 & \sf 1 & \sf 3 \\ \sf 0 & \sf 0 & \sf 1 \end{array}\Big]$

$\sf \Big[\begin{array}{ccc} \sf 1 & \sf 0 & \sf -14 \\ \sf 0 & \sf 1 & \sf 3 \\ \sf 0 & \sf 0 & \sf 1 \end{array}\Big]~\Longrightarrow^{L_1+14\cdot L_3~\Rightarrow~L_1}~\Big[\begin{array}{ccc} \sf 1 & \sf 0 & \sf 0 \\ \sf 0 & \sf 1 & \sf 3 \\ \sf 0 & \sf 0 & \sf 1 \end{array}\Big]$

$\sf \Big[\begin{array}{ccc} \sf 1 & \sf 0 & \sf 0 \\ \sf 0 & \sf 1 & \sf 3 \\ \sf 0 & \sf 0 & \sf 1 \end{array}\Big]~\Longrightarrow^{L_2-3\cdot L_3~\Rightarrow~L_2}~\Big[\begin{array}{ccc} \sf 1 & \sf 0 & \sf 0 \\ \sf 0 & \sf 1 & \sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0 & \sf 1 \end{array}\Big]$

Essa matriz possui 3 linhas não nulas, logo seu posto é 3