Question

Encontre o ponto sobre a curva y
2 = 2x mais proximo de (1, 4).

Answer 1

⇒ Aplicando nossos conhecimentos sobre o Método dos Multiplicadores de Lagrange, concluímos que o ponto pertencente à curva dada que está mais próximo do ponto (1, 4) é o ponto (2, 2).

☞ Função de Lagrange

${\text{ \boxed{F( x_{1} ,x_{2} ,...,x_{n} ,\lambda _{1} ,\lambda _{2} ,...,\lambda _{r}) =f( x_{1} ,x_{2} ,...,x_{n}) +\sum _{i=1}^{r} \lambda _{i} \phi _{i}( x_{1} ,x_{2} ,...,x_{n})} }}$

➜   Seja P(x, y) um ponto qualquer pertencente à curva y² = 2x. A distância entre o ponto (1, 4) e a curva é  $d^2=f(x,y)=(x-1)^2+(y-4)^2$ . Então precisamos minimizar a função  $f(x,y)$  sujeita à restrição  $\phi(x,y)\equiv y^2-2x=0$

A função de Lagrange é

${ \begin{array}{l} F( x,y,\lambda) =f( x,y) +\lambda \phi ( x,y)\\ \\ =( x-1)^{2} +( y-4)^{2} +\lambda \left( y^{2} -2x\right) \end{array} }$

➜   Para os pontos críticos

${ \begin{array}{l} \partial F/\partial x=2( x-1) -2\lambda =0\\ \\ \partial F/\partial y=2( y-4) +2y\lambda =0 \end{array}}$

Das equações acima, encontramos  $x=\lambda +1$  e  $y=\dfrac{4}{\lambda +1}$

Substituindo em   $\phi(x,y)$

${\text{ \begin{array}{l} \left(\dfrac{4}{\lambda +1}\right)^{2} -2( \lambda +1) =0\Longrightarrow \dfrac{16}{( \lambda +1)^{2}} =2( \lambda +1) \Longrightarrow \\ \\ \Longrightarrow ( \lambda +1)^{3} =8\Longrightarrow \lambda =1 \end{array} }}$

Então  $x=\lambda+1=1+1=2$   e   $y=\dfrac{4}{\lambda +1} =\dfrac{4}{1+1} =2$

∴   O ponto da curva y² = 2x mais próximo do ponto (1, 4) é ponto (2, 2)

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