Question

Encontre o ponto da reta paramétrica


$\left\{\begin{matrix}x \ = \ -4 \ - \ t \ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \\ y \ = \ 4 \ - \ t ~~~~~~~~~~~~~ ;\ \ t \ \ \epsilon \ \ \mathbb{R} \\ z \ = \ 2 \ + \ 2 t \ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \end{matrix}\right.$


que esteja mais próximo da origem.

Answer 1

Olá.

Para um ponto (x,y,z) qualquer, sua distância à origem O(0,0,0) é dada por:

$d_{PO} = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$

Para minimizarmos a distância sobre a reta, precisamos derivar e igualar a zero a expressão acima. Veja, entretanto, que a raiz quadrada é uma função monótona crescente(sempre crescente), logo, quanto menor seu argumento, menor seu valor. Assim, é suficiente minimizarmos x² + y² + z² = f.

Veja agora que x, y, z são pontos da reta paramétrica dada. Assim, o valor de f sobre a reta vale:

$f(\gamma(t)) = (-4-t)^2+(4-t)^2 + (2+2t)^2$

Se derivarmos usando a regra da cadeia do cálculo 1 e igualarmos a zero, teremos a condição de mínimo:

$f'(\gamma(t)) = 2(-4-t)(-1) + 2(4-t)(-1) + 2(2+2t)(2) = 0\\ \\ (8+2t)+(-8+2t)+(8+8t) = 0\\ \\ 12t = -8\Rightarrow t = -\dfrac{2}{3}$

Pronto, temos o valor de t para mínimo. Basta jugar na equação da reta e obteremos o pedido:

$\begin{array}{ccccc}x = -4-t & & y = 4-y& & z = 2+2t\\ x = -4-(-\frac23) & & y = 4-(-\frac23) & & z = 2+2(-\frac23)\\ x = -\frac{10}{3}&&y = \frac{14}{3}&& z = \frac23\end{array} \\ \\ \\ \boxed{P = \left(-\frac{10}{3}, \frac{14}{3}, \frac23\right)}$