Matemática, perguntado por asioliveira2, 2 meses atrás

Encontre o polinômio de Taylor de ordem 4 da função...

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por Vicktoras

Pelos cálculos realizados, concluímos que o polinômio de aproximação é:

$\:\:\:\:\:\;\boxed{\bf P_4(x) = 1 + x + \frac{x {}^{2} }{2} + \frac{x {}^{3} }{6} + \frac{x {}^{4} }{24}} \\$ .

Explicação

Para determinarmos um polinômio de Taylor independente da ordem, devemos usar a relação da Série de Taylor, dada por:

$\:\:\:\:\:\:\:\: \: \: \: \boxed{\bf P_n(c) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{n}(c)}{n!}(x-c)^n} \\$

O Polinômio de Taylor é método de aproximação por polinômio, ele utiliza-se das derivadas para estimar os valores de uma determinada função. Além disto, vale ressaltar que ele é usado para estimar valores de funções mais complexas de uma maneira simples.

Como foi dito anteriormente, necessitamos das derivadas da função a qual queremos aproximar através de um polinômio.

A quantidade de derivadas que devem ser realizadas é dada de a acordo com a precisão (n) utilizada, isto é, a ordem do polinômio.

Queremos um polinômio de quarta ordem, isto é, n = 4, então necessitaremos de 4 derivadas da função f(x) dada no enunciado. Observe que a função em questão é conhecida por sua derivada ser sempre igual a função original, então:

$\bullet \:\:\: f'(x) = f''(x) = f'''(x) = f''''(x)$

Vale ressaltar também que quando o ponto em que série está sendo analisada é centrada em 0, passa a ser chamada de Série de Maclaurin, como é o nosso caso. ________________________________

Agora sabendo como realizar o cálculo, vamos substituir os dados na fórmula e encontrar o polinômio de aproximação.

$P_4(c) = f(c) + \frac{f'(c)}{n!} (x - c) + \frac{f''(c)}{n!} (x - c) {}^{2} + \frac{f'''}{n!} (x - c) {}^{3} + \frac{f ''''(c)}{n!} (x - c) {}^{4} \\ \\ P_4(0) = e {}^{0} + \frac{e {}^{0} }{ 1! } (x - 0) + \frac{e {}^{0} }{ 2!} (x - 0) {}^{2} + \frac{e {}^{0} }{ 3!} (x - 0) {}^{3} + \frac{e {}^{0} }{ 4!} (x - 0) {}^{4} \\ \\ P_4(0) = 1 + \frac{1}{1} x + \frac{1}{2.1} x {}^{2} + \frac{1}{3.2.1} x {}^{3} + \frac{1}{4.3.2.1} x {}^{4} \\ \\ \boxed{\bf P_4(x) = 1 + x + \frac{x {}^{2} }{2} + \frac{x {}^{3} }{6} + \frac{x {}^{4} }{24} }$