Matemática, perguntado por asioliveira2, 4 meses atrás

Encontre o polinômio de Taylor de ordem 4 da função...

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por Vicktoras
9

Pelos cálculos realizados, concluímos que o polinômio de aproximação é:

\:\:\:\:\:\;\boxed{\bf P_4(x) = 1 + x +  \frac{x {}^{2} }{2}  +  \frac{x {}^{3} }{6}  +  \frac{x {}^{4} }{24}} \\.

Explicação

Para determinarmos um polinômio de Taylor independente da ordem, devemos usar a relação da Série de Taylor, dada por:

 \:\:\:\:\:\:\:\:   \:  \:  \: \boxed{\bf P_n(c) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{n}(c)}{n!}(x-c)^n} \\

  • O Polinômio de Taylor é método de aproximação por polinômio, ele utiliza-se das derivadas para estimar os valores de uma determinada função. Além disto, vale ressaltar que ele é usado para estimar valores de funções mais complexas de uma maneira simples.

Como foi dito anteriormente, necessitamos das derivadas da função a qual queremos aproximar através de um polinômio.

  • A quantidade de derivadas que devem ser realizadas é dada de a acordo com a precisão (n) utilizada, isto é, a ordem do polinômio.

Queremos um polinômio de quarta ordem, isto é, n = 4, então necessitaremos de 4 derivadas da função f(x) dada no enunciado. Observe que a função em questão é conhecida por sua derivada ser sempre igual a função original, então:

\bullet \:\:\: f'(x) = f''(x) = f'''(x) = f''''(x)

Vale ressaltar também que quando o ponto em que série está sendo analisada é centrada em 0, passa a ser chamada de Série de Maclaurin, como é o nosso caso. ________________________________

Agora sabendo como realizar o cálculo, vamos substituir os dados na fórmula e encontrar o polinômio de aproximação.

P_4(c) = f(c) +  \frac{f'(c)}{n!} (x - c) +  \frac{f''(c)}{n!} (x - c) {}^{2}  +  \frac{f'''}{n!} (x - c) {}^{3} + \frac{f ''''(c)}{n!} (x - c) {}^{4} \\  \\ P_4(0) = e {}^{0}  +  \frac{e {}^{0} }{ 1! } (x - 0) +  \frac{e {}^{0} }{ 2!} (x - 0) {}^{2}  + \frac{e {}^{0} }{ 3!} (x - 0) {}^{3}  + \frac{e {}^{0} }{ 4!} (x - 0) {}^{4}  \\  \\ P_4(0) = 1 +  \frac{1}{1} x +  \frac{1}{2.1} x {}^{2}  +   \frac{1}{3.2.1} x {}^{3}  +  \frac{1}{4.3.2.1} x {}^{4}  \\  \\  \boxed{\bf P_4(x) = 1 + x +  \frac{x {}^{2} }{2}  +  \frac{x {}^{3} }{6}  +  \frac{x {}^{4} }{24} }

Portanto este é o polinômio de aproximação da função \bf f(x) = e^x .

Espero ter ajudado

Leia mais sobre em:

brainly.com.br/tarefa/7587027

brainly.com.br/tarefa/31399372

Anexos:

andrefelipecosta: Obrigado
Vicktoras: Por nada
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