Question

encontre o plano tangente à superfície f(x,y) = x.cos(y) em (1,0,1).

Answer 1

✅ Após realizar os cálculos, concluímos que a equação geral do plano tangente à referida superfície é:

       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \pi: x - z = 0\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

     $\Large\begin{cases} f(x, y) = x\cdot\cos(y)\\P = (1, 0, 1)\end{cases}$

Organizando a equação, temos:

      $\Large\begin{cases} s: x\cdot\cos(y) - z = 0\\P = (1, 0, 1)\end{cases}$

Para calcular a equação do plano tangente a uma determinada superfície devemos ter um ponto pertencente à superfície e um vetor normal passando pelo ponto, ou seja:

       $\Large\begin{cases} P = (X_{P},\,Y_{P},\,Z_{P})\\\vec{n_{\pi}} = (X_{n},\,Y_{n},\,Z_{n})\end{cases}$

Além disso, devemos montar a equação do plano tangente utilizando a seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$      $\large\displaystyle\begin{gathered} X_{n}\cdot X + Y_{n}\cdot Y + Z_{n}\cdot Z = X_{n}\cdot X_{P} + Y_{n}\cdot Y_{P} + Z_{n}\cdot Z_{P}\end{gathered}$

Para montar a equação do plano tangente, devemos:

• Verificar se o ponto "P" pertence à superfície "s". Caso positivo, existe sim plano tangente à referida superfície. Caso contrário, não existe plano tangente. Para isso, devemos substituir as coordenadas do ponto "P" na equação da superfície. Então, temos:

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} 1\cdot\cos(0) - 1 = 0\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} 1\cdot1 - 1 = 0\end{gathered}$  

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(II)\end{gathered}$                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} 0 = 0\end{gathered}$

         Como, ambos os membros da equação "II" são iguais, então o   ponto "P" pertence à referida superfície. Então, podemos continuar com os cálculos.

• Calcular a derivada parcial de "s" em termos de "x".

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} \frac{\partial s}{\partial x} = 1\cdot x^{1 - 1}\cdot\cos(y) = \cos(y)\end{gathered}$

• Calcular a derivada parcial de "s" em termos de "y".

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} \frac{\partial s}{\partial x} = x\cdot\left[-\sin(y)\right] = -x\cdot\sin(y)\end{gathered}$

• Calcular a derivada parcial de "s" em termos de "z".

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} \frac{\partial s}{\partial x} = -1\cdot z^{1 - 1} = -1\cdot z^{0} = -1\cdot 1 = -1\end{gathered}$

• Montar o vetor gradiente.

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} \nabla s(x, y, z) = \left(\frac{\partial s}{\partial x},\,\frac{\partial s}{\partial y},\,\frac{\partial s}{\partial z}\right)\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (\cos(y),\,-x\cdot\sin(y),\,-1)\end{gathered}$

      $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:\nabla s(x, y, z)= (\cos(y),\,-x\cdot\sin(y),\,-1)\end{gathered}$

• Montar o vetor normal do plano pelo ponto "P".

        Sabemos que o vetor normal é igual ao vetor gradiente aplicado ao ponto "P", ou seja:

           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \vec{n_{\pi}} = \nabla s(P)\end{gathered} }$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (\cos(0),\,-1\cdot\sin(0),\,-1)\end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (1, 0, -1)\end{gathered}$

           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \therefore\:\:\:\vec{n_{\pi}} = (1, 0, -1)\end{gathered} }$

• Montar a equação do plano tangente.

        Substituindo tanto as coordenadas do ponto "P" quanto as coordenadas do vetor "n" na equação "I" temos:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} 1\cdot x + 0\cdot y + (-1)\cdot z = 1\cdot1 + 0\cdot0 + (-1)\cdot1\end{gathered}$

                                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} x - z = 1 - 1\end{gathered}$

                                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} x - z = 0\end{gathered}$

✅ Portanto, a equação geral do plano tangente é:

                $\Large\displaystyle\begin{gathered} \pi: x - z = 0\end{gathered}$

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Veja a solução gráfica representada na figura:

Answer 2

Resposta:

f(x,y)=x*cos(y)   em (1,0,1)

∂f/∂x = 1*cos(y)

∂f/∂x (1,0) * [x-1] = cos(0) *(x-1) =x-1

∂f/∂y = -x*sen(y)

∂f/∂y (1,0) * [y-0]  =-1*sen(0) * y =-1*0 *y=0

z-zo=∂f/∂x (xo,yo) * [x-xo] + ∂f/∂y (xo,yo) * [y-yo]

z-1=x-1  + 0

z-x=0  é o plano tangente à superfície f(x,y)=x*cos(y) no ponto (1,0,1)