Question

Encontre o número complexo z tal que 2z + i² = z(conjugado) . i³

Answer 1

Olá,

Considerando z = a + bi, e z' como conjugado de z,temos:

2z + i² = z' * i³
2(a + bi) - 1 = (a - bi) * (-i)
2a + 2bi - 1 = -ai + bi²
2a - 1 + 2bi = -b - ai
(2a - 1) + 2bi = -b - ai

(2a - 1) é parte real de z, enquanto que -b é a parte real de z'. Por correspondência de termos, temos:
2a - 1 = -b
2a + b = 1

O mesmo para a parte imaginária:
2bi = -ai
b = -ai/2i
b = -a/2

Temos um sistema:
2a + b = 1
b = -a/2

Substituindo b na primeira equação, temos:
2a - a/2 = 1
3a/2 = 1
3a = 2
a = 2/3

Encontrando b:
b = (-2/3)/2
b = (-2/3)*1/2
b = -2/6
b = -1/3

Portanto, temos o número complexo:
z = a + bi
z = 2/3 - i/3

Bons estudos ;)
--------
Prova:
2z + i² = z' * i³
2(2/3 - i/3) - 1 = (2/3 + i/3)*(-i)
4/3 - 2i/3 - 1 = -2i/3 - i²/3
4/3 - 2i/3 - 1 = -2i/3 + 1/3
-2i/3 -1 + 4/3 = -2i/3 + 1/3
-2i/3 + 1/3 = -2i/3 + 1/3