Question

Encontre o Limite por regra de L'Hospital

Answer 1

Se simplesmente substituirmos $x$ por algum valor positivo próximo de 0, acharemos que $\lim_{x\to0^+}\ln x/\cot x=-\infty/\infty$. Podemos então aplicar a regra de L'Hospital da seguinte forma:

$\lim_{x\to0^+}\frac{\ln x}{\cot x}=\lim_{x\to0^+}\frac{\frac{d}{dx}(\ln x)}{\frac{d}{dx}(\cot x)}$

$\lim_{x\to0^+}\frac{\ln x}{\cot x}=\lim_{x\to0^+}\frac{1/x}{-\csc^2x}$

Sendo $\csc x=1/\sin x$:

$\lim_{x\to0^+}\frac{\ln x}{\cot x}=\lim_{x\to0^+}\frac{-\sin^2x}{x}$

$\lim_{x\to0^+}\frac{\ln x}{\cot x}=\frac{\lim_{x\to0^+}-\sin^2x}{\lim_{x\to0^+}x}$

$\lim_{x\to0^+}\frac{\ln x}{\cot x}=\frac{-\sin^20}{\lim_{x\to0^+}x}$

$\lim_{x\to0^+}\frac{\ln x}{\cot x}=\frac{-0^2}{\lim_{x\to0^+}x}$

$\lim_{x\to0^+}\frac{\ln x}{\cot x}=\frac{0}{\lim_{x\to0^+}x}$

$\lim_{x\to0^+}\frac{\ln x}{\cot x}=0$