Question

Encontre o limite, caso exista:

$Lim \: ( \sqrt{ x + \sqrt{x} } - \sqrt{x - 1)} \\ x - > + \infty$

Por favor, preciso do cálculo com suas definições formais.


Grato!!
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Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Perceba que, se aplicarmos diretamente o limite, obtemos $\mathsf{\underbrace{\infty \ - \ \infty}_{indeterminado}}$

Usando álgebra para "escaparmos" disso, começando pela eliminação das raízes por:

$\mathsf{(a \ + \ b)\cdot (a \ - \ b) \ = \ a^2 \ - \ b^2}$

$\mathsf{\underset{x \to +\infty}{\lim} \ \sqrt{x \ + \sqrt{x}} - \sqrt{x \ - \ 1} \ \bigg(\cdot \dfrac{\sqrt{x \ + \sqrt{x}} + \sqrt{x \ - 1} }{\sqrt{x \ + \sqrt{x}} + \sqrt{x \ - \ 1} }\bigg)}$

$\mathsf{\underset{x \to +\infty}{\lim} \ \dfrac{x \ + \sqrt{x} \ - \ x \ + \ 1}{\sqrt{x \ + \sqrt{x}} \ + \ \sqrt{x \ - 1}}}$

$\mathsf{\underset{x \to +\infty}{\lim} \ \dfrac{\sqrt{x} + \ 1}{\sqrt{x \ + \sqrt{x}} \ + \ \sqrt{x \ - \ 1}}}$

Aplicando novamente:

$\mathsf{\underset{x \to +\infty}{\lim} \ \dfrac{(\sqrt{x} \ + \ 1) \cdot (\sqrt{x} \ - \ 1)}{(\sqrt{x \ + \ \sqrt{x}} \ + \sqrt{x \ -  1}) \cdot (\sqrt{x} \ - \ 1)}}$

$\mathsf{\underset{x \to +\infty}{\lim} \ \dfrac{x \ - \ 1}{(\sqrt{x \ + \ \sqrt{x}} \ + \sqrt{x \ -  1}) \cdot (\sqrt{x} \ - \ 1)}}$

$\mathsf{\underset{x \to \infty}{\lim} \dfrac{x \cdot (1 \ + \frac{1}{x})}{\sqrt{x} \cdot \bigg(\sqrt{1 \ + x^{-\frac{1}{4}}} \ + \ \sqrt{1 \ - x^{\frac{1}{4}}}\bigg) \cdot \sqrt{x} \cdot (1 \ - x^{-\frac{1}{2}})}}$

Vamos "cortar" e aplicar a tendência ao $\mathsf{+ \infty}$. Assim, $\mathsf{\underset{x \ \to +\infty}{\lim} \ \dfrac{1}{\sqrt[n]{x}} \ = \ 0}$

Temos portanto:

$\mathsf{\dfrac{1 \ - \ 0}{(\sqrt{1 \ + \ 0} \ + \sqrt{1 \ + \ 0}) \cdot (1 \ + \ 0)} \ = \ \boxed{\boxed{\mathsf{\dfrac{1}{2}}}}}$

Answer 2

A resposta é 1/2. Espero ter ajudado!