Question

Encontre o intervalo de a para que a equação x^3 - 3xa^2 +2 = 0 tenha 3 raízes reais diferentes.

Answer 1

Resposta:

x^3 - 3xa^2 +2 = 0

f(x)=x^3 - 3xa^2 +2

f'(x)=3x²-3a²

3x²-3a²=0

x²=a²   ==> x=-a  ou x=a

f(a)=a³-3a³+2 =-2a³+2

f(-a)=-a³+3a³+2 =2a³+2

Se -2a³+2 >0 e 2a³+2< 0  x³-3a²+2=0 terá três raízes

a³-1<0  ==> a³<1    ==> a< ∛1  ==>a<1

2a³+2< 0 ==>a³<-1   ==> a< -1

a<1 ∩ a<-1 ==>a <-1

Se -2a³+2 <0 e 2a³+2>0  x³-3a²+2=0 terá três raízes

-2a³+2 <0  ==>a³> 1  ==>a>1

2a³+2>0 ==>a³>-1  ==>a>-1

a>1 ∩ a>-1  ==>a>1

A eq. terá três raízes se   -1 >  a > 1