Question

Encontre o gradiente da função dada e o valor máximo da derivada direcional no ponto indicado:
(lembrando que pode ser o mais resumido possível)

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{a)~\nabla f=(2,~-8)~e~\max\{\nabla_u f\}=2\sqrt{17}~\biggr|~b)~\nabla f=\left(\dfrac{1}{2},~2\right)~e~\max\{\nabla_u f\}=\dfrac{\sqrt{17}}{2}}}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Devemos encontrar o gradiente das funções e o valor máximo das derivadas direcionais nos pontos indicados.

a)  $f(x,~y)=x^2-3xy+y^2,~~P~(4,~2)$

Lembre-se que o vetor gradiente de uma função é dado pelo par ordenado das derivadas parciais das funções:

$\nabla{f}=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x},~\dfrac{\partial f}{\partial y}\right)$

Então, calculemos as derivadas parciais:

$\dfrac{\partial}{\partial x}(x^2-3xy+y^2)$

Neste caso, tratamos $y$ como constante e aplicamos as regras de derivação

$\dfrac{\partial}{\partial x}(x^2)-\dfrac{\partial}{\partial x}(3xy)+\dfrac{\partial}{\partial x}y^2)\\\\\\\ 2x-3y$

Faça o mesmo para a variável $y$

$\dfrac{\partial}{\partial y}(x^2)-\dfrac{\partial}{\partial y}(3xy)+\dfrac{\partial}{\partial y}(y^2)\\\\\\\ 2y-3x$

Dessa forma, o vetor gradiente é o par ordenado:

$\nabla f =(2x-3y,~2y-3x)$

Calculamos seu valor no ponto dado

$\nabla f =(2\cdot 4-3\cdot 2,~2\cdot 4-3\cdot 2)\\\\\\ \nabla f =(2,~-8)$

Para calculamos o valor máximo da derivada direcional, lembre-se que ela é máxima na direção e sentido do vetor gradiente. A fórmula é:

$\max\{\nabla_u f\}=|\nabla f|$, tal que $|\nabla f|$ é o módulo do vetor gradiente

Calculando o módulo, teremos

$|\nabla f| =\sqrt{2^2+(-8)^2}$

Calcule as potências e some os valores

$|\nabla f| =\sqrt{4+64}\\\\\\ |\nabla f| =\sqrt{68}$

Decompondo o radical em fatores primos, vemos que $68=2^2\cdot 17$, logo

$\max\{\nabla_u f\}=2\sqrt{17}$

Este é o valor máximo da derivada direcional.

b) $f(x, y)=y\sqrt{x},~~P~(4,~2)$

Calcule as derivadas parciais:

$\dfrac{\partial }{\partial x}(y\sqrt{x})=\dfrac{y}{2\sqrt{x}}\\\\\\ \dfrac{\partial }{\partial y}(y\sqrt{x})=\sqrt{x}$

O vetor gradiente será:

$\nabla f=\left(\dfrac{y}{2\sqrt{x}},~\sqrt{x}\right)$

Substituindo os valores do par ordenado, temos

$\nabla f=\left(\dfrac{2}{2\sqrt{4}},~\sqrt{4}\right)\\\\\\ \nabla f=\left(\dfrac{2}{4},~2\right)\\\\\\ \nabla f=\left(\dfrac{1}{2},~2\right)$

Da mesma forma que fizemos anteriormente, devemos calcular seu módulo:

$\max\{\nabla_u f\}=\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+2^2}$

Calcule as potências e some os valores

$\max\{\nabla_u f\}=\sqrt{\dfrac{17}{4}}$

Aplique a propriedade de radicais

$\max\{\nabla_u f\}=\dfrac{\sqrt{17}}{2}$

Este é o valor máximo da derivada direcional.

Answer 2

Resposta:

• a) $\mathsf{2\sqrt{17}}$

• b) $\mathsf{\dfrac{\sqrt{17}}{2}}$

Explicação passo-a-passo:

Para melhor visualização da resposta utilize o navegador.

• Essa tarefa é sobre derivadas parciais de funções de 2 ou mais variáveis.

• A derivada direcional fornece a taxa de variação de uma função em relação a uma determinada direção, dada por um vetor unitário.

• O gradiente, por sua vez, é o vetor que fornece a direção de maior crescimento (taxa de variação) da função.

Sem mais enrolação, bora para a solução!

Solução:

a) $\mathsf{f(x,y)=x^2-3xy+y^2}$

1. Determine o gradiente da função:

$\vec{\nabla}\mathsf{f(x,y)}=\mathsf{\dfrac{\partial f}{\partial x}\hat x+\dfrac{\partial f}{\partial y}\hat y}\\\\\therefore \vec{\nabla}\mathsf{f(x,y)}=\mathsf{(2x-3y)\hat x+(-3x+2y)\hat y}$

2. Calcule o valor do gradiente no ponto P(4, 2):

$\vec{\nabla}\mathsf{f(4,2)}=\mathsf{(8-6)\hat x+(-12+4)\hat y}\\\\\vec{\nabla}\mathsf{f(4,2)}=\mathsf{2\,\hat x-8\,\hat y}$

3. O valor máximo da derivada direcional ocorre na direção do gradiente e seu valor é dado pelo módulo desse vetor:

$\mathsf{m\'ax\, D_uf(4,2)=}|\vec{\nabla}\mathsf{f(4,2)}|\\\\|\vec{\nabla}\mathsf{f(4,2)}|=\mathsf{\sqrt{2^2+(-8)^2}=\sqrt{68}}\\\\\therefore |\vec{\nabla}\mathsf{f(4,2)}|=\mathsf{2\sqrt{17}}$

b) $\mathsf{f(x,y)=y\sqrt{x}=y\,x^{\frac{1}{2}}}$

1. Determine o gradiente da função:

$\vec{\nabla}\mathsf{f(x,y)}=\mathsf{\dfrac{\partial f}{\partial x}\hat x+\dfrac{\partial f}{\partial y}\hat y}\\\\\therefore \vec{\nabla}\mathsf{f(x,y)}=\mathsf{(\dfrac{1}{2}y\,x^{-\frac{1}{2}})\hat x+\sqrt{x}\,\hat y}$

2. Calcule o valor do gradiente no ponto P(4, 2):

$\vec{\nabla}\mathsf{f(4,2)}=\mathsf{(\dfrac{1}{2}\cdot2\cdot4^{-\frac{1}{2}})\,\hat x+\sqrt{4}\,\hat y}\\\\\therefore \vec{\nabla}\mathsf{f(4,2)}=\mathsf{\dfrac{1}{2}\,\hat x+2\,\hat y}$

3. O valor máximo da derivada direcional ocorre na direção do gradiente e seu valor é dado pelo módulo desse vetor:

$\mathsf{m\'ax\, D_uf(4,2)=}|\vec{\nabla}\mathsf{f(4,2)}|\\\\|\vec{\nabla}\mathsf{f(4,2)}|=\mathsf{\sqrt{\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg)^2+2^2}=\sqrt{\dfrac{17}{4}}}\\\\\\\therefore |\vec{\nabla}\mathsf{f(4,2)}|=\mathsf{\dfrac{\sqrt{17}}{2}}$

Continue aprendendo com o link abaixo:

Derivada direcional

https://brainly.com.br/tarefa/32084609

Bons estudos! : )

Equipe Brainly