Question

Encontre o fyxy (-1,0) da equação abaixo:

(Lembrando que pode ser o mais resumido possivel)

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{-12~~\checkmark}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Desejamos encontrar o valor da derivada parcial de terceira ordem da função no ponto dado. Para isso, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Seja a função $f(x,~y)=(x+y)^2\cdot 3x^2$, buscamos $\dfrac{\partial^3f}{\partial y\partial x\partial y}(-1,~0)$.

Primeiro, calculamos $\dfrac{\partial f}{\partial y}$:

$\dfrac{\partial}{\partial y}((x+y)^2\cdot 3x^2)$

Considerando $x$ como constante, teremos:

$3x^2\cdot\dfrac{\partial}{\partial y}((x+y)^2)$

Calcule a derivada pela regra da cadeia e regra da potência:

$3x^2\cdot\left[\dfrac{\partial}{\partial y}(x+y)\right]\cdot 2(x+y)$

Calcule a derivada da soma e multiplique os valores

$6x^2\cdot(x+y)\\\\\\ 6x^3+6x^2y$

Então, calculamos $\dfrac{\partial^2f}{\partial x\partial y}$, lembrando que $\dfrac{\partial^2f}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right)$

$\dfrac{\partial}{\partial x}(6x^3+6x^2y)$

Aplique a regra da soma e calcule as derivadas em relação a $x$

$\dfrac{\partial}{\partial x}(6x^3)+\dfrac{\partial}{\partial x}(6x^2y)\\\\\\ 18x^2+12xy$

Por fim, calculamos $\dfrac{\partial^3f}{\partial y\partial x\partial y}$, sabendo que $\dfrac{\partial^3f}{\partial y\partial x\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right)\right)$

$\dfrac{\partial}{\partial y}(18x^2+12xy)$

Aplique a regra da soma e calcule as derivadas em relação a $y$

$\dfrac{\partial}{\partial y}(18x^2)+\dfrac{\partial}{\partial y}(12xy)\\\\\\ 12x$

Assim, substituindo as coordenadas do ponto, teremos

$12\cdot(-1)$

Multiplique os valores

$-12$

Este era o resultado que buscávamos.