Question

Encontre o foco e a equação na forma padrão para a parábola cuja diretriz é a reta x = -7 e cujo vértice V(-3,2). Faça um esboço manual do gráfico da parábola. ​

Answer 1

Resposta:

• Foco da Parábola

Analisando os dados, percebe-se que a parábola está virada para a direita. Isso diz que a coordena y do foco será a mesma do vértice (x, 2).

Temos que a coordenada x do foco, tem a mesma distância que a coordenada x do vértice e a coordenada x da diretriz.

$\sf f_x = \left | -7 - (-3) \right |\\f_x = \left | -4 \right |\\f_x = 4$

Agora somamos a coordenada x do vértice com 4, que é igual a 1, logo o foco está no ponto (1, 2).

• Equação da Parábola

Usaremos a seguinte relação para determinar sua equação padrão (k = coordenada y do vértice; h = coordenada x do vértice):

$\sf (y - k)^2 = 4p(x - h)\\(y-2)^2= 4\cdot 4(x-(-3))$

O esboço está em anexo!

Espero ter ajudado :)

Answer 2

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⠀⠀⠀☞ Foco em (1, 2) e equação da parábola x = y²/16 - y/4 - 11/4. Gráfico em anexo. ✅

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⠀⠀⠀⭐⠀Para realizar este exercício vamos rever a definição de parábola, a equação para o vértice da parábola, encontrar um ponto a partir do foco e usar a equação reduzida da parábola.⠀⭐⠀  

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• ☀️⠀Uma parábola é definida como o conjunto dos pontos que equidistam de um ponto específico (chamado foco) e de uma reta específica (chamada diretriz), de forma que a distância deste vértice até a reta diretriz é igual à distância do foco até o vértice da parábola, distância esta que podemos chamar de comprimento do foco (representada pela letra p). Já a largura do foco é a abertura lateral que o foco têm até a parábola e equivale ao quádruplo de p.

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⠀⠀⠀➡️⠀Como a reta diretriz é vertical então temos uma parábola na forma de f(y). Inicialmente vamos encontrar o valor da comprimento do foco a partir da distância entre a coordenada em x do vértice e a reta diretriz: p = |(-3) - (-7)| = |(-3) + 7| = 4.

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⠀⠀⠀➡️  Como a reta diretriz está mais à esquerda da parábola então temos que a concavidade desta parábola está voltada para a parte positiva do eixo x. Desta forma temos que o foco está em (-3 + p, 2) = (1, 2).

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⠀⠀⠀➡️⠀Sabemos também que o vértice equivale à (-b/2a, -Δ/4a) quando o eixo de simetria da parábola é paralelo ao eixo y, porém quando ele é paralelo ao eixo x temos que o vértice vale (-Δ/4a, -b/2a), ou seja:

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$\blue{\LARGE\begin{cases}\sf~I)~~-\dfrac{b}{2 \cdot a} = 2 \\\\\sf~II)~~-\dfrac{\Delta}{4 \cdot a} = -3\end{cases}}$  

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⠀⠀⠀➡️⠀De I) extraímos que b = -4a.

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⠀⠀⠀➡️⠀De II) extraímos que:

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$\LARGE\blue{\sf -\left(\dfrac{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}{4 \cdot a}\right) = -3}$

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$\LARGE\blue{\sf \dfrac{(-6 \cdot a)^2 - 4 \cdot a \cdot c}{4 \cdot a} = 3}$

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$\LARGE\blue{\sf 16 \cdot a^2 - 4 \cdot a \cdot c = 3 \cdot 4 \cdot a}$

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$\LARGE\blue{\sf 16 \cdot a^2 - 4 \cdot a \cdot c = 12 \cdot a}$

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$\LARGE\blue{\sf 4 \cdot a \cdot c = -12 \cdot a + 16 \cdot a^2}$

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$\LARGE\blue{\text{ \sf c = \dfrac{-12 \cdot \backslash\!\!\!{a} + 16 \cdot a^{\backslash\!\!\!{2}}}{4 \cdot \backslash\!\!\!{a}} }}$

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$\LARGE\blue{\sf c = 4 \cdot a - 3}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Finalmente temos, pela equação reduzida da parábola que:

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$\LARGE\blue{\sf x = a \cdot y^2 + b \cdot y + c}$

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$\large\blue{\sf x = a \cdot y^2 - 4 \cdot a \cdot y + 4 \cdot a - 3}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Substituindo (x, y) por um ponto conhecido (exceto o vértice que já utilizamos para descobrir b e c em função de a) podemos finalmente encontrar a. Temos, pela largura do foco, os pontos (1, 2±2×p) que valem (1, 10) e (1, -6). Vamos utilizar o primeiro deles:

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$\large\blue{\sf 1 = a \cdot 10^2 - 4 \cdot a \cdot 10 + 4 \cdot a - 3}$

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$\Large\blue{\sf 1 + 3 = a \cdot 100 - 40 \cdot a + 4 \cdot a}$

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$\LARGE\blue{\sf 4 = 64 \cdot a}$

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$\LARGE\blue{\sf a = \dfrac{4}{64} = \dfrac{1}{16}}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Ou seja, b = (-4) × (1/16) = (-1/4) e c = 4 × (1/16) - 3 = 1/4 - 12/4 = (-11/4). Conhecendo os coeficientes temos portanto a equação desta parábola:

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                                  $\LARGE\green{\boxed{\rm~~~\gray{x}~\pink{=}~\blue{\dfrac{y^2}{16} - \dfrac{y}{4} - \dfrac{11}{4}}~~~}}$ ✅

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⠀⠀⠀➡️⠀Para esboçar o gráfico basta obter alguns pontos atribuindo valores a uma das variáveis e encontrando o valor da outra.

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⠀⠀⠀☀️⠀Conhecendo o vértice e o comprimento focal poderíamos ter encontrado a equação desta parábola também através da seguinte relação (onde (x-xv) está invertido com (y-yv) justamente devido a parábola ter sua simetria horizontal):

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                             $\Large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{lcr}\green{\star}&&\green{\star}\\&\!\!\orange{\bf (y - y_v)^2 = 4p \cdot (x - x_v)}\!\!&\\\green{\star}&&\green{\star}\\\end{array}}}}}$  

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                             $\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

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⠀⠀☀️ L͎̙͖͉̥̳͖̭̟͊̀̏͒͑̓͊͗̋̈́ͅeia mais sobre parábolas, focos e retas diretrizes:

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                                     $\huge\blue{\text{\bf\quad Bons~estudos.}}$ ☕

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