Question

Encontre o domínio imagem da função: f(x)=3sinx-2cosx

Answer 1

$f(x)=3\sin x-2\cos x$

Não há restrições para o valor que $x$ pode assumir, ou seja, $f(x)$ existe para todo $x$ real. Portanto,

$\mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}.$

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Para encontrar a imagem de $f$ vamos reescreveer a expressão da função:

$f(x)=3\sin x-2\cos x=R\cos (x+\theta)~~~~~~\mathbf{(i)}$

para algum $R\ge 0$ e algum $\theta\in \mathbb{R}.$


Expandindo o cosseno da soma no lado direito, devemos ter

$3\sin x-2\cos x=R\cdot \left(\cos x\cos \theta-\sin x \sin \theta \right )\\\\ 3\sin x-2\cos x=R\cos x\cos \theta-R\sin x\sin \theta\\\\ 3\sin x-2\cos x=(-R\sin \theta)\sin x+(R\cos \theta)\cos x$


Comparando os dois lados da última igualdade acima, devemos ter

$\left\{ \begin{array}{rcrc} -R\sin \theta&=\!\!\!&3&~~~~\mathbf{(ii)}\\ R\cos \theta&=\!\!\!&-2&~~~~\mathbf{(iii)} \end{array} \right.$


Elevando as equações $\mathbf{(ii)}$ e $\mathbf{(iii)}$ ao quadrado e somando-as, temos

$\left\{ \begin{array}{rcr} R^{2}\sin^{2} \theta&\!\!=\!\!\!&9\\ R^{2}\cos^{2} \theta&\!\!=\!\!\!&4 \end{array} \right.\\\\\\ R^{2}\sin^{2}\theta+R^{2}\cos^{2}\theta=9+4\\\\ R^{2}\,(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta)=13\\\\ R^{2}=13\\\\ \boxed{\begin{array}{c} R=\sqrt{13} \end{array}}$


Das equações $\mathbf{(ii)}$ e $\mathbf{(iii)},$ tiramos que $\theta$ é um ângulo tal que

$\left\{ \begin{array}{c} \sin \theta=-\dfrac{3}{\sqrt{13}}\\\\ \cos \theta=-\dfrac{2}{\sqrt{13}} \end{array} \right.$


$\theta$ é um arco do 3º quadrante que satisfaz as condições acima.
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Reescrevendo a expressão de $f$ da equação $\mathbf{(i)},$ temos que

$f(x)=R\cos (x+\theta)\\\\ f(x)=\sqrt{13}\,\cos (x+\theta)$


Sabemos que

$-1\le \cos (x+\theta)\le 1$


Multiplicando todos os membros por $\sqrt{13},$ temos

$-\sqrt{13}\le \sqrt{13}\cos (x+\theta)\le \sqrt{13}\\\\ \boxed{\begin{array}{c} -\sqrt{13}\le f(x)\le \sqrt{13} \end{array}}$


Logo, o conjunto imagem de $f$ é

$\mathrm{Im}(f)=\left\{y \in \mathbb{R}\left|\,-\sqrt{13}\le y\le \sqrt{13}\right.\right\}$


ou em notação de intervalos,

$\mathrm{Im}(f)=\left[-\sqrt{13},\;\sqrt{13}\, \right ].$