Question

Encontre o domínio de f(x) = 1/(x²+2x+3)

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{D(f(x))=\mathbb{R}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para encontrarmos o domínio desta função, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

O domínio de uma função se trata do intervalo ao qual ela existe e admite imagens.

Seja a função: $f(x)=\dfrac{1}{x^2+2x+3}$

Veja que esta é uma função racional, cujo denominador é uma função polinomial. Neste caso, seu domínio será definido de forma que:

$x^2+2x+3\neq0$

Para resolvermos esta desigualdade, utilizamos a fórmula resolutiva:

$x\neq\dfrac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot3}}{2\cdot1}$

Calcule a potência e multiplique os valores

$x\neq\dfrac{-2\pm\sqrt{4-12}}{2}$

Some os valores

$x\neq\dfrac{-2\pm\sqrt{-8}}{2}$

Sabendo que $\sqrt{-8}=\sqrt{8}\cdot i$, temos

$x\neq\dfrac{-2\pm i\sqrt{8}}{2}$

Calcule o radical, sabendo que $8=2^3$

$x\neq\dfrac{-2\pm 2i\sqrt{2}}{2}$

Separe as soluções

$x\neq\dfrac{-2- 2i\sqrt{2}}{2}~~~\mathtt{ou}~~~x\neq\dfrac{-2+ 2i\sqrt{2}}{2}$

Simplifique as frações

$x\neq-1- i\sqrt{2}~~~\mathtt{ou}~~~x\neq-1+ i\sqrt{2}$

Veja que neste caso, as duas soluções para a desigualdade são complexas. Porém, como geralmente o domínio de uma função é um intervalo pertencente ao conjunto dos números reais, temos:

$D(f(x))=\mathbb{R}$

Este é o domínio desta função.