Matemática, perguntado por zonaib, 9 meses atrás

Encontre o domínio de cada função:
(a) f(x) = 13x − 1 / 2x^2 + 7x - 4

(b) g(x) = raiz( 2 - 5x) / x^2 - 9

Soluções para a tarefa

Respondido por Nasgovaskov

O domínio real de uma função são todos os valores reais de x para que a função exista.

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Pra determinar o domínio das funções, atenção às restrições:

O denominar não pode ser igual a zero.
O radicando de um radical de índice par não pode ser negativo.

$~~$

Ou seja:

$\begin{array}{l}\begin{cases}\sf x\,\neq\,0,~~se~~y/x\\\\\sf x\,\geq\,0,~~se~~\sqrt[\sf y]{\sf x}~~~~/~~y=indice~par\end{cases}\\\\\end{array}$

Tendo as restrições em mente, vamos prosseguir:

$~~$

Letra A)

$\begin{array}{l}\sf f(x)=\dfrac{13x-1}{2x^2+7x-4}\end{array}$

Aqui temos uma fração, logo o denominador não pode ser zero, ou seja, deve ser diferente de zero:

$\begin{array}{l}\\\sf 2x^2+7x-4\,\neq\,0\end{array}$

Por fatoração:

$\begin{array}{l}\sf2x^2-x+8x-4\,\neq\,0\\\\\sf x\cdot(2x-1)+4\cdot(2x-1)\,\neq\,0\\\\\sf(x+4)\cdot(2x-1)\,\neq\,0\\\\\begin{cases}\sf x+4\,\neq\,0\\\\\sf 2x-1\,\neq\,0\end{cases}\\\\\begin{cases}\sf x'\,\neq\,-4\\\\\sf x''\,\neq\,\dfrac{1}{2}\end{cases}\\\\\end{array}$

Resposta: Dessa forma o domínio da função f são os números reais diferentes de – 4 e o 1/2:

$\boxed{\begin{array}{l}\\\sf D(f)=\bigg\{\:x\in\mathbb{R}~~/~~x\,\neq\,-4~,~ \dfrac{1}{2}\:\bigg\}\\\\\end{array}}$

$~~$

Letra B)

$\begin{array}{l}\sf g(x)=\dfrac{\sqrt{2-5x}}{x^2-9}\end{array}$

Veja que aqui temos uma raiz quadrada, logo o radicando não pode ser negativo, ou seja, deve ser maior ou igual a zero:

$\begin{array}{l}\\\sf2-5x\,\geq\,0\\\\\sf-5x\,\geq-2\\\\\sf5x\,\leq\,2\\\\\sf x\,\leq\,\dfrac{2}{5}\\\\\end{array}$

E como também temos uma fração, seu denominador não pode ser zero:

$\begin{array}{l}\\\sf x^2-9\,\neq\,0\\\\\sf (x)^2-(3)^2\,\neq\,0\\\\\sf (x+3)\cdot(x-3)\,\neq\,0\\\\\begin{cases}\sf x+3\,\neq\,0\\\\\sf x-3\,\neq\,0\end{cases}\\\\\begin{cases}\sf x'\,\neq\,-3\\\\\sf x''\,\neq\,3\end{cases}\\\\\end{array}$