Question

Encontre o domínio das seguintes funções. Represente-o como um intervalo ou reunião de intervalos de R.

$1) f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{3x-x^2} } \\ \\ \\ 2) f(x) = -\sqrt{4-x^2}$

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Domínio d'uma expressão irracional

Consideremos a expressão irracional :

$~~~~\boxed{ \sqrt[n]{A(x)} }$

● Se o n é ímpar, o dominio de $\sqrt[n]{A(x)}$ é o domínio de $A(x)$ .

● Se o n é par, o domínio de $\sqrt[n]{A(x)}$ é dado por $~D~=~\left\{ x\in D\left(A(x)\right)~:~ A(x)\geq 0\right\}$

Nos é dado a função :

$~1)~~ f(x)~=~\dfrac{1}{\sqrt{3x-x^2} }$

Temos um radical de índice par , então o nosso domínio será dado pela segunda condição :

vamos ter que $\boxed{ x\in \mathbb{R}~:~ 3x-x^2\geq 0 }$ , veja que o radical está no denominador, portanto se $~3x-x^2=0$ vamos ter uma divisão por zero $\left( \dfrac{1}{0} \right)$ o que não pode acontecer . Então em $~3x-x^2\geq 0$ vamos ter que retirar a possibilidade de ser zero , assim ficamos com:

$~~~\boxed{ D_{f}~=~\left\{ x\in\mathbb{R}~:~ 3x-x^2 > 0 \right\} }$

$\iff x \left(3 - x\right) > 0$

Os zeros são {0 , 3}.

Fazendo um gráfico teremos uma parábola voltada para baixo que corta o eixo das abcissas em x=0 e x=3 . e onde $~3x-x^2 >0$ será em: $]~0~; ~3~[$

Assim sendo concluimos que:

$\green{ \iff \boxed{ D_{f}~=~\left\{ x\in\mathbb{R}~:~ 0 <x <3 \right\} } }$

2) Temos a função :

$~~~~\boxed{ f(x)~=~ -\sqrt{4-x^2} }$

● Novamente temos um radical de índice par , vamos usar a sefunda condição:

$\iff ~D_{f}~=~\left\{ x\in\mathbb{R}~:~ 4-x^2\geq 0 \right\}$

Os zeros são { -2 ; +2 } , fazendo um gráfico teremos uma parábola voltada para baixo e onde $4-x^2\geq 0$ será em $\left[ -2~;~+2\right]$ .

$\pink{ \iff \boxed{ D_{f}~=~ \left\{ x\in\mathbb{R}~:~ -2\leq x \leq+2 \right\} } }$

ESPERO TER AJUDADO BASTANTE !)