Question

Encontre o domínio da função:

$g(z) = \sqrt{ \dfrac{z}{z + 1} }$
​

Answer 1

$g(z) = \sqrt{\dfrac{z}{z+1}}$

$g(z) = \sqrt{\dfrac{z+1-1}{z+1}}$

$g(z) = \sqrt{1-\dfrac{1}{z+1}}$

O denominador da fração não pode ser 0. Ou seja:

$z+1 \neq 0 \\~\\ z \neq -1$

A raiz quadrada não pode ser negativa, então:

$1 - \dfrac{1}{z+1}\geq0$

$1 \geq \dfrac{1}{z+1}$

Para uma fração ser menor ou igual a 1, o denominador deve ser maior ou igual a 1 ou deve ser menor que 0.

$z+1\geq 1$

$z\geq 0$

ou

$z+1<0$

$z<-1$

Então o domínio D é:

$D = ]-\infty,-1[\text{ } \cup\text{ }[0, \infty[$

Answer 2

$\sf g(z) = \sqrt{ \frac{z}{z + 1} } \\ \\ \\ \\ \sf \sqrt{ \frac{z}{z + 1} } \\ \\ \sf \frac{z}{z + 1} \\ \\ \sf z + 1$

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Calculando$\sf \sqrt{ \frac{z}{z + 1} }$:

$\Bigg \{ \begin{matrix} \sf z \geqslant 0& \\ \sf z + 1 > 0 & \end{matrix} \\ \Bigg \{ \begin{matrix} \sf z \leqslant 0& \\ \sf \sf z + 1 < 0\end{matrix} \\ \\ \\ \\ \Bigg \{ \begin{matrix} \sf z \geqslant 0& \\ \sf \sf z > - 1\end{matrix} \\ \Bigg \{ \begin{matrix} \sf z \leqslant 0& \\ \sf \sf z +1 < 0\end{matrix} \\ \\ \\ \Bigg \{ \begin{matrix} \sf z \geqslant 0& \\ \sf \sf z > - 1\end{matrix} \\ \Bigg \{ \begin{matrix} \sf z \leqslant 0& \\ \sf \sf z < - 1\end{matrix} \\ \\ \\ \\ \sf \boxed{\sf z \in [0{,} + \infty \rangle} \\ \Bigg \{ \begin{matrix} \sf z \leqslant 0& \\ \sf \sf z < - 1\end{matrix} \\ \\ \\ \boxed{\sf z \in [0{,} + \infty \rangle }\\ \sf \boxed{\sf z \in \langle - \infty {,} - 1 \rangle} \\ \\ \\ \sf {\color{red}\boxed{ \sf z \in \langle - \infty {,} - 1 \rangle \mathbb{U}[0{,} + \infty \rangle}}$

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Calculando$\sf \frac{z}{z + 1}$:

$\sf z + 1 = 0 \\ \\ \sf z = - 1 \\ \\ \sf {\color{red}\boxed{\sf z \in \mathbb{R} /\{ - 1 \}}}$

Obs: Coloquei uma barra inversa ( / ) sendo que devia colocar ( \ ).

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Calculando $\sf z + 1$:

${\color{red} \boxed{\sf z \in \mathbb{R}}}$

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Domínio:

${\color{Aquamarine} \boxed{\sf z \in \langle - \infty {,} - 1\rangle \mathbb{U}[0{,} + \infty \rangle}}$

Att: Nerd1990