Question

Encontre o determinante de B da primeira linha.

15 7 1 -1
8 -3 -4 2
1 12 6 4
32 -10 1 9

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Cristiane, que a resolução é simples, porém trabalhosa, pois a matriz é do 4º grau e, assim, as matrizes de cada cofator serão matrizes do 3º grau, o que dificulta sobremodo encontrar os seus respectivos determinantes.
Mas vamos ver. Está sendo pedido que se fixe a primeira linha da matriz abaixo para, depois, encontrarmos o determinante da matriz B pelo método de Laplace.

.......|15......7....1....-1|
B = |8......-3...-4......2|
.......|1......12....6.....4|
.......|32...-10....1....9|

i) Fixando-se a primeira linha e a primeira coluna, vamos ficar com:

(a₁₁)*(-1)¹⁺¹ * A₁₁ = (15)*(-1)²*A₁₁ = 15*1*A₁₁ = 15*A₁₁      . (I)

Note que a matriz resultante, quando você fixa a primeira linha e a primeira coluna, ficará sendo esta, já colocando-a na forma de desenvolver (regra de Sarrus):

|-3.....-4....2|-3.....-4|
|12.....6....4|12.....6|
|-10....1....9|-10....1|, cujo determinante é:

dA₁₁ = (-3)*6*9+(-4)*4*(-10)+2*12*1 - [(-10)*6*2+1*4*(-3)+9*12*(-4))]
dA₁₁ = - 162+160+24 - [-120-12-432]
dA₁₁ = 22 - [-564]
dA₁₁ = 22 + 564
dA₁₁ = 586 <--- Este é o determinante da matriz do cofator A₁₁.

ii) Fixando-se a primeira linha e a segunda coluna, ficamos com a seguinte matriz resultante:

a₂₁*(-1)²⁺¹ * A₂₁ = 7*(-1)³ * A₂₁ = 7*(-1)*A₂₁ = -7*A₂₁      . (II).

Note que a matriz resultante, quando você fixa a primeira linha e a segunda coluna, ficará sendo esta, já colocando-a na forma de desenvolver (regra de Sarrus):

|8....-4....2|8......-4|
|1......6....4|1......6|
|32....1....9|32....1| , cujo determinante é:

dA₂₁ = 8*6*9+(-4)*4*32+2*1*1 - [32*6*2+1*4*8+9*1*(-4)]
dA₂₁ = 432 - 512 + 2 - [384 + 32 - 36]
dA₂₁ = - 78 - [380]
dA₂₁ = - 78 - 380
dA₂₁ = - 458 <--- Este é o determinante da matriz do cofator A₂₁.

iii) Fixando-se a primeira linha e a terceira coluna, ficamos com a seguinte matriz resultante:

a₃₁*(-1)³⁺¹ * A₃₁ = 1*(-1)⁴ * A₃₁ = 1*1*A₃₁ = 1*A₃₁      . (III).

Note que a matriz resultante, quando você fixa a primeira linha e a terceira coluna, ficará sendo esta, já colocando-a na forma de desenvolver (regra de Sarrus):

|8........-3....2|8.........-3|
|1.......12....4|1........12|
|32....-10....9|32....-10| , cujo determinante é:

dA₃₁ = 8*12*9+(-3)*4*32+2*1*(-10) - [32*12*2+(-10)*4*8+9*1*(-3)]
dA₃₁ = 864 - 384 - 20 - [768 - 320 - 27]
dA₃₁ = 460 - [421]
dA₃₁ = 460 - 421
dA₃₁ = 39 <--- Este é o determinante da matriz do cofator A₃₁.

iv) Finalmente, fixando-se a primeira linha e a quarta coluna, ficamos com a seguinte matriz resultante:

a₄₁*(-1)⁴⁺¹ * A₄₁ =  (-1)*(-1)⁵ * A₄₁ = (-1)*(-1)*A₄₁ = 1*A₄₁    . (IV).

Note que a matriz resultante, quando você fixa a primeira linha e a quarta coluna, ficará sendo esta, já colocando-a na forma de desenvolver (regra de Sarrus):

|8.......-3.....-4|8........-3|
|1.......12.....6|1.......12|
|32....-10....1|32....-10|, cujo determinante é este:

dA₄₁ = 8*12*1 + (-3)*6**32 + (-4)*1*(-10) - [32*12*(-4)+(-10)*6*8+1*1*(-3)]
dA₄₁ = 96 - 576 + 40 - [-1.536 - 480 - 3]
dA₄₁ = - 440 - [- 2.019]
dA₄₁ = -440 + 2.019
dA₄₁ = 1.579 <--- Este é o determinante da matriz do cofator A₄₁.

v) Agora vamos somar as expressões (I) + (II) + (III) + (IV) e teremos o valor do determinante (d) da matriz B. Assim:

d = 15*A₁₁ + (-7*A₂₁) +  1*A₃₁ + 1*A₄₁ ----- substituindo-se cada cofator pelo respectivo determinante encontrado, teremos:

d = 15*586 + (-7)*(-458) + 1*39 + 1*1.579
d = 8.790 + 3.206 + 39 + 1.579
d = 13.614 <---- Esta é a resposta. Se não tiver havido engano de sinais da nossa parte (o que poderá ser até possível, dada a quantidade de cálculos envolvidos), a resposta será a que demos acima.

Você bem que poderia ter fornecido as opções, pois, pelo menos se tivéssemos encontrado algum valor divergente das opções dadas, poderíamos procurar onde pudesse ter havido algum possível engano de sinais.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.