Question

Encontre o determinante da matriz B, indicada abaixo:

$B = \begin{bmatrix} 4& 5 & - 3 & 0 \\ 2 & - 1 & 3 & 1 \\ 1 & - 3 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & - 2 & 5\end{bmatrix}$
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Answer 1

$\textsf{Leia abaixo}$

Explicação:

Vamos selecionar a linha 1, já que nela há um elemento igual a zero.

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \sf{ B = \begin{bmatrix} \sf4& \sf 5 & \sf - 3 & \sf0 \\ \sf 2 & \sf - 1 & \sf 3 & \sf 1 \\ \sf 1 & \sf - 3 & \sf 2 & \sf1 \\ \sf0 & \sf 2 & \sf - 2 & \sf 5\end{bmatrix} } \end{gathered} }$

O determinante será encontrado fazendo:

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \sf{ D = \sum a _{ij} \cdot A _{ij}} \end{gathered} }$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \sf{ D = a_{11} \cdot A_{11} + a_{12} \cdot A_{12} + a_{13} \cdot A_{13} + a_{14} \cdot A_{14}} \end{gathered} }$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \sf{ D = 4 \cdot A_{ 11} + 5 \cdot A_{12 } + ( - 3) \cdot A_{ 13} + 0 \cdot A_{ 14}} \end{gathered} }$

A partir daqui, como zero multiplicado por qualquer número é zero, o cálculo fica mais simples, pois neste caso a₁₄ . A₁₄ não precisa ser calculado.

Vamos então calcular cada cofator:

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \sf{ A_{11 } = ( - 1) {}^{1 + 1} \cdot \begin{bmatrix} \sf - 1& \sf3& \sf 1 \\ \sf - 3& \sf 2& \sf1 \\ \sf2& \sf - 2& \sf5\end{bmatrix}} = 1 \cdot41 = 41\end{gathered} }$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \sf{ A_{ 12} = ( - 1) {}^{1 + 2} \cdot\begin{bmatrix} \sf2& \sf3& \sf1 \\ \sf1 & \sf2& \sf1 \\ \sf0& \sf - 2& \sf5\end{bmatrix}} = - 1 \cdot7 = - 7\end{gathered} }$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \sf{ A_{13 } = ( - 1) {}^{1 + 3} \cdot \begin{bmatrix} \sf2& \sf - 1&1 \\ \sf1& \sf - 3& \sf1 \\ \sf0 & \sf2 & \sf5\end{bmatrix}} = 1 \cdot( - 27) = - 27\end{gathered} }$

Note que para determinar o cofator é necessário calcular o determinante de cada matriz de ordem 3 indicada acima. Para esse tipo de matriz, o método mais fácil é aplicar a regra de Sarrus.

Substituindo os valores encontrados na expressão do determinante, temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \sf{ D = 4 \cdot41 + 5 \cdot( - 7) + ( - 3) \cdot( - 27) } \end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \sf{ D = 164 - 35 + 81 } \end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \sf{ D = 245 - 35} \end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \sf{ D = 210 } \end{gathered}$

Chegamos ao resultado 210, que é o determinante dessa matriz 4x4 ou matriz de 4ª ordem.