Question

encontre o conjunto solucao das inequações (5x+2) (2x-x) (4x+3) _> 0

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Westlock, como você já explicou que o termo do meio é realmente (2x-x), então vamos resolver a inequação dada, que é esta:

(5x+2)*(2x-x)*(4x+3) ≥ 0 ------ como 2x-x = x, então ficaremos assim:
(5x+2)*x*(4x+3) ≥ 0 ----- note que, na multiplicação, a ordem dos fatores não altera o produto. Então, para facilitar, vamos apenas colocar o "x" para antes da expressão, ficando assim:

x*(5x+2)*(4x+3) ≥ 0

Note que temos aí em cima uma inequação-produto constituída por três funções do 1º grau. Temos f(x) = x; g(x) = 5x+2 e h(x) = 4x+3.
Faremos o seguinte: encontraremos as raízes de cada uma das equações acima. Depois, em função de suas raízes, estudaremos a variação de sinais de cada uma delas. E, finalmente, concluiremos qual é o domínio (ou conjunto-solução) da inequação dada.
Assim teremos:

f(x) = x ---> raízes: x = 0 ---> x = 0
g(x) = 5x+2 ---> raízes: 5x+2 = 0 ---> 5x = - 2 ---> x = -2/5
h(x) = 4x+3 ---> raízes: 4x+3 = 0 ---> 4x = - 3 ---> x = - 3/4

Agora vamos estudar a variação de sinais de cada uma das equações dadas em função de suas raízes. Assim:

a) f(x) = x .... . . . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (0)+ + + + + + + + + + + + +
b) g(x) = 5x+2... - - - - - - - - - - - - (-2/5)+ + + + + + + + + + + + + + + + + + +
c) h(x) =  4x+3...- - - - (-3/4)+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
d) a*b*c. . . . . . - - - - (-3/4)+ + + (-2/5)- - - - - -(0)+ + + + + + + + + + + + +

Como queremos que o produto de f(x)*g(x)*h(x) seja MAIOR ou IGUAL a zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de MAIS ou seja igual a zero, no item "d" acima, que nos fornece o resultado do produto f(x)*g(x)*h(x).
Assim, o intervalo que dá o domínio da inequação dada (ou o conjunto-solução) será este:

-3/4 ≤ x ≤ -2/5 , ou x ≥ 0  --------- Esta é a resposta.

Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução (domínio) da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

D = {x ∈ R | -3/4 ≤ x ≤ -2/5 , ou x ≥ 0}

Ou ainda, também se quiser, o domínio poderá ser apresentado do modo abaixo, o que dá no mesmo:

D = [-3/4; -2/5] ∪ [0; +∞) .

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.