Question

Encontre o conjunto solução da equação. (ver foto)

Answer 1

Para a equação ser verdadeira os valores de X tem quer ser 1 ou 0

$S=[1 , 0]$

• Mas, como chegamos nessa resposta ?

Temos uma equação exponencial onde o X se encontra o EXPOENTE, então para encontrar seu valor temos que dominar as propriedades do expoente

Temos a seguinte equação:

$9^{x-\frac{1}{2}}-\dfrac{4}{3^{1-x}}=-1$

Perceba que ela não é uma questão simples, pois vamos ter que usar algumas propriedades do expoente

Essas propriedades são:

$A^M\cdot A^N=A^{M+N}$

$\dfrac{1}{A^M} = A^{-M}$

$(A^M)^N=A^{M\cdot N}$

Vamos para questão. Como essa questão é grande vou separar a equação em duas partes

A primeira parte será $9^{x-\frac{1}{2}$

Podemos reescrever essa expressão de outro modo pela propriedade $A^M\cdot A^N=A^{M+N}$

$\Large\text{ 9^{x-\frac{1}{2}}\Rightarrow 9^x\cdot 9^{-\frac{1}{2}} }$

9 como sendo $3^2$ para assim ele ficar na base 3, isso ira facilitar nossos cálculos

$\Large\text{ 9^x\cdot 9^{-\frac{1}{2}} \Rightarrow (3^2)^x\cdot (3^2)^{-\frac{1}{2} } }$

Podemos simplificar ainda mais com a propriedade $(A^M)^N=A^{M\cdot N}$

$\Large\text{ (3^2)^{-\frac{1}{2} }\Rightarrow 3^{2\cdot -\frac{1}{2}}\Rightarrow 3^{-\frac{2}{2}}\Rightarrow \boxed{3^{-1}} }$

(Não simplificarei a outra parte pois ela nos será útil mais pra frente)

Então concluirmos que  $\Large\text{ 9^{x-\frac{1}{2}}=(3^2)^x \cdot 3^{-1} }$

Agora vamos para segunda parte da expressão

$\Large\text{ -\dfrac{4}{3^{1-x}} }$

Bem precisamos tirar esse $3^{1-x}$ do denominador para isso vamos utilizar a propriedade   $\dfrac{1}{A^M} = A^{-M}$

$\Large\text{ -\dfrac{4}{3^{1-x}} \Rightarrow -4\cdot 3^{-(1-x)}\Rightarrow \boxed{-4 \cdot 3^{-1+x}} }$

Podemos ainda simplificar o   $\Large3^{1-x}$  usando a propriedade $A^M\cdot A^N=A^{M+N}$

$\Large\text{ -4 \cdot 3^{-1+x} \Rightarrow \boxed{-4\cdot 3^{-1}\cdot 3^x} }$

Então podemos  concluir que

$\Large\text{ -\dfrac{4}{3^{1-x}}=-4\cdot 3^x\cdot 3^{-1} }$

agora basta substituirmos na expressão original

$\Large\text{ 9^{x-\frac{1}{2}}-\dfrac{4}{3^{1-x}}=-1\Rightarrow \boxed{(3^2)^x \cdot 3^{-1}-4\cdot 3^x\cdot 3^{-1}=-1} }$

Agora utilizaremos um método chamado substituição

onde chamaremos $3^X=U$

Basta substituirmos

$(3^2)^x \cdot 3^{-1}-4\cdot 3^x\cdot 3^{-1}=-1\\\\\\(U)^2 \cdot 3^{-1}-4\cdot U\cdot 3^{-1}=-1\\\\\\\boxed{\dfrac{U^2}{3}- \dfrac{-4U}{3}=-1 }$

Perceba que ficamos com o denominador 3 então vou multiplicar toda equação por 3 para sumir o denominador

$\dfrac{U^2}{3}- \dfrac{-4U}{3}=-1 \\\\\\\left(\dfrac{U^2}{3}\right)\cdot 3- \left(\dfrac{-4U}{3}\right)\cdot 3=-1\cdot 3\\\\\\U^2-4U=-3\\\\\\\boxed{U^2-4U+3=0}$

Temos uma equação do 2° utilizaremos Bhaskara

$\dfrac{-B\pm\sqrt{B^2-4\cdot A\cdot C} }{2\cdot A}$

$\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot 1\cdot 3} }{2\cdot 1}\\\\\\\dfrac{+4\pm\sqrt{(16-12} }{2}\\\\\\\dfrac{+4\pm\sqrt{4} }{2}\\\\\\\dfrac{+4\pm2 }{2}\\\\\\U_1=\dfrac{6}{2} \Rightarrow 3\\\\U_2= \dfrac{2}{2}\Rightarrow 1$

Ou seja os valores U são 3 é 1, MAS lembre-se que U é igual a $3^X$

então basta substituirmos

$U=3 \Rightarrow 3^X=3 \Rightarrow \boxed{X=1}\\U=1 \Rightarrow 3^X=1 \Rightarrow \boxed{X=0}$

Concluirmos que os valores possíveis de X são 1 e 0