Question

ENCONTRE O CONJUNTO SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO TRIGONOMÉTRICA sen x + cos 4x = 0

Answer 1

$\mathsf{sen(x)+cos(4x)=0\to~sen(x)=-cos(4x)}$

$\mathsf{sen^2(x)=\dfrac{1}{2}(1-cos(2x))}$

$\mathsf{(-cos(4x))^2=\dfrac{1}{2}(1-cos(2x))}$

$\mathsf{2cos^2(4x)=1-cos(2x)}\\\mathsf{2cos^2(4x)+cos(2x)-1=0}$

$\mathsf{2cos^2(2.2x)+cos(2x)-1=0}$

Faça

$\mathsf{u=2x}$

$\mathsf{2cos^2(2u)+cos(u)-1=0}$

$\mathsf{2(2cos^2(u)-1)+cos(u)-1=0}$

$\mathsf{4cos^2(u) -2+cos(u)-1=0}$

$\mathsf{4cos^2(u)+cos(u)-3=0}$

Está é uma equação de 2º grau em cos(u) onde

-1≤cosu≤1

$\mathsf{\Delta=1+48=49}\\\mathsf{cos(u)=\dfrac{-1\pm7}{8}}\\\mathsf{cos(u)=\dfrac{6\div2}{8\div2}=\dfrac{3}{4}}\\\mathsf{cos(u)=-1}$

$\mathsf{cos(2x)=\dfrac{3}{4}}\\\mathsf{x=\dfrac{1}{2}arccos(\dfrac{3}{4})}$

$\mathsf{cos(2x)=-1}\\\mathsf{cos(2x)=cos(\pi)+2k\pi}$

$\mathsf{x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi~com~k\in\mathbb{Z}}$