Question

Encontre o comprimento do arco pela função $f(x) = \sqrt{3x}$ , no intervalo [1, 2].

(Lembre-se de que o comprimento de um arco L eh dado por L = $\int\limits^b_a \sqrt{1 + [ f' (x) ]^2 } dx)$

Answer 1

Olá



$\mathsf{f(x)= \sqrt{3}\cdot x }$


Encontrando f'(x)


$\displaystyle\mathsf{f'(x)= \sqrt{3}\cdot x^{1-1} }\\\\\\\mathsf{f'(x) = \sqrt{3} }$




Temos que os limites de integração está no domínio fechado de 1 até 2 ......[1,2]



Agora é só jogar na fórmula


$\displaystyle\mathsf{L= \int\limits^b_a { \sqrt{1+[f'(x)]^2} } \, dx }\\\\\\\\\\\mathsf{ L=\int\limits^2_1 { \sqrt{1+[ \sqrt{3}]^2}}~dx}\\\\\\\\\\\mathsf{ L=\int\limits^2_1 { \sqrt{1+3}}~dx}\\\\\\\\\\\mathsf{ L=\int\limits^2_1 { \sqrt{4}}~dx}$


$\displaystyle\mathsf{ L=\int\limits^2_1 { 2}~dx}\\\\\\\\\\\mathsf{L= \left( \frac{}{} 2x~\right)\bigg|^2_1}\\\\\\\\\mathsf{L=(2\cdot(2))~-~(2\cdot (1))}\\\\\\\mathsf{L=4-2}\\\\\\\mathsf{L=\boxed{2}\quad Unidade ~de~Comprimento }$


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