Question

Encontre o comprimento da curva representanda pela equação r = e²° variando de 0 a 3pi/4

Answer 1

O comprimento da curva representanda pela equação r será de 33.030,15.

Comprimento de uma curva

Para calcular o comprimento da cruva dada na questão devemos aplicar na fórmula:

$C = \int\limits^a_b {\sqrt{1 + [f'(x)]^{2} } } \, d$Θ

tendo a função f com derivada contínua no intervalo [a,b].

Aplicando ao exercício

Tendo os seguintes dados:

r = e²°

intervalo = 0 a 3pi/4

Temos que:

$C = \int\limits^\frac{3\pi }{4} _0 {\sqrt{1 + [f'(x)]^{2} } } \, d$Θ

sendo:

f'(x) = 2e²°

Logo, teremos a seguinte expressão:

$C = \int\limits^\frac{3\pi }{4} _0 {\sqrt{1 + [2e^{2°} ]^{2} } } \, d$Θ

$C = \int\limits^\frac{3\pi }{4} _0 {\sqrt{1 + [4e^{4°} ] } } \, d$Θ

Resolvendo a integral por partes temos que:

u = 1+ 4e^4Θ

du = 16e^4Θ dΘ

portanto

Θ = 0 ----> u = 5 = b

Θ = 3pi/4 ----> u = 1+ 4e^3pi = a

logo:

$\int\limits^a_b {\sqrt{u} } \, dx$

Resultará em:

[(2/3)*(1+ 4e^3pi)] - [(2/3)*(5e^3/2)] = 33.030,15

O comprimento da curva representanda pela equação r será de 33.030,15.

Entenda mais sobre Comprimento de uma curva aqui: https://brainly.com.br/tarefa/6169200

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