Question

Encontre o coeficiente do termo x8 no desenvolvimento de (x+1)12.
a) 795
b) 952
c) 875
d) 495
e) 985

Answer 1

Temos o seguinte binômio: $(x+1)^{12}$, a questão pergunta qual o coeficiente do termos em x a oitava, para isso devemos fazer o desenvolvimento desse binômio ou então usar uma ferramenta chamada de Termo geral do binômio que é dado por:

$\boxed{ \boxed{\sf T_{p+1} = \binom{n}{p}a^{n-p}.b^{p}}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf Onde : \to\begin{cases} \sf n = expoente \\ \sf p = local \: do \: termo \\ \sf a \: \: e \: \: b = termos \: do \: binomio \: fornecido. \end{cases}$

Primeiro vamos identificar esses elementos de acordo com os listados acima:

$\sf n = 12, \: \: a = x \: \: ,b = 1 \: \: p = ?$

Substituindo na fórmula:

$\sf \sf T_{p+1} = \binom{12}{p}x^{12-p}.1^{p}$

A questão quer saber qual o coeficiente de termo em x⁸, ou seja, podemos pegar o expoente da base "x" e igualá-lo a 8 para forçar o aparecimento do expoente 8:

$\sf 12 - p = 8 \: \: \: \: \: \\ \sf -p = 8 - 12 \: \: \: \: \\ \sf - p = - 4.( - 1) \\ \sf p = 4 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Substituindo o valor de "p":

$\sf \sf T_{4+1} = \binom{12}{4}x^{12-4}.1^{4} \\ \\ \sf T_{5} = \binom{12}{4} x {}^{8} .1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf T_{5} = \frac{12!}{4!(12-4)!}.x {}^{8} \: \\ \\ \sf T_{5} = \frac{12.11.10.9. \cancel 8 !}{4 ! \cancel8 ! } x {}^{8} \\ \\ \sf T_{5} = \frac{12.11.10.9}{4.3.2.1} x {}^{8} \: \: \: \\ \\ \sf T_{5} = \frac{11880}{24} x {}^{8} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \boxed{ \boxed{\sf T_{5} = 495x {}^{8} }} \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Espero ter ajudado