Question

Encontre o centro e o raio do círculo com equação
x^2 +y^2-6x+10y+9=0

Answer 1

O centro e o raio são:

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered}C = \left(3, \ -5\right) \quad r = 5\end{gathered}$

Temos duas equações para descrever um círculo, a reduzida:

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered}\left(x-x_0\right)^2 + \left(y-y_0\right)^2 = r^2\end{gathered}$

Neste caso o círculo tem o centro C em:

                                           $\Large\displaystyle\begin{gathered}C = \left(x_0, \ y_0)\end{gathered}$

E raio r.

Porém podemos expandir os quadrados da forma reduzida e obter a seguinte equação:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered}\left(x-x_0\right)^2 + \left(y-y_0\right)^2 = r^2\\ \\ \left(x^2-2x_0x+x_0^2\right) + \left(y^2-2y_0y+y_0^2\right) - r^2 = 0\\ \\ \end{gathered}$

Também chamada de equação geral

Lembrando que x₀ e y₀ são números.

Então reorganizando os termos chegamos em:

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}x^2 + y^2 - 2y_0y - 2x_0x + x_0^2 + y_0^2 - r^2 = 0\end{gathered}$

Veja que temos alguns números ao quadrado, no qual eu vou agrupar tudo e chamar de K:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}x^2 + y^2 - 2y_0y - 2x_0x + \underbrace{x_0^2 + y_0^2 - r^2}_{K} = 0\\ \\x^2 + y^2 - 2y_0y - 2x_0x + K = 0\\ \\\end{gathered}$

Ou seja, se queremos achar as coordenadas do centro partindo da equação geral,  temos que fazer:

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}C = \left(x_0, \ y_0\right)\\ \\-2x_0 = a\Rightarrow x_0 = -\frac{a}{2}\\ \\-2y_0 = b\Rightarrow y_0 = -\frac{b}{2}\end{gathered}$

Sendo que a é o número que multiplica x na nossa equação geral, e b é o número que multiplica y na nossa equação geral.

No nosso caso eles são -6 e 10, respectivamente, portanto nosso centro é:

                                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}x_0 = -\frac{(-6)}{2} = 3\\ \\y_0 = -\frac{10}{2} = -5\\ \\C = \left(3,\ -5\right)\end{gathered}$

E para descobrir o raio vamos recorrer a constante que chamamos de K:

                                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}x_0^2 + y_0^2 - r^2 = K\\ \\r^2 = x_0^2 + y_0^2 - K\\ \\r = \sqrt{x_0^2 + y_0^2 - K}\\ \\\end{gathered}$

No nosso caso essa constante vale 9, então o raio fica:

                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered}r = \sqrt{(-5)^2 + 3^2 - 9}\\ \\r = \sqrt{25 + 9 - 9}\\ \\r = \sqrt{25}\\ \\r = 5\\ \\\end{gathered}$

Logo o círculo tem raio e centro igual a:

                                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}C = \left(3, \ -5\right) \quad r = 5\end{gathered}$

Espero ter ajudado

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