Question

encontre o ângulo 0 (em radianos) formado por z no plano complexo.​

Answer 1

Temos o seguinte número complexo:

$\sf z = - 2 - 5i$

• Em um número complexo em sua forma algébrica (z = a + bi), tem-se duas partes a real e a imaginária. A parte real é o número sem a letra "i" e a imaginária com a letra "i",. para que possamos encontrar o ângulo, vamos identificar esses valores:

$\sf z = - 2 - 5i \rightarrow \begin{cases} \sf a = - 2 \\ \sf b = - 5 \end{cases}$

Antes de encontrar o ângulo de fato, vamos realizar mais um cálculo.

• Módulo:

O módulo é a distância da origem até o afixo (ponto) das coordenada dos valores que possuímos, ele pode ser calculado através da relação de Pitágoras:

$\sf \rho = \sqrt{a {}^{2} + b {}^{2} }$

Substituindo:

$\sf \rho = \sqrt{( - 2) {}^{2} + ( - 5) {}^{2} } \\ \sf \rho = \sqrt{4 + 25} \\ \sf \rho = \sqrt{29}$

• Argumento:

O argumento é o ângulo formado em relação ao eixo "x" e pode ser calculado através das razões trigonométricas seno e cosseno.

$\sf sen \theta = \frac{b}{p} \: \: \: \: e \: \: \: cos \theta = \frac{a}{p}$

Substituindo os dados:

$\sf sen \theta = \frac{ - 5}{ \sqrt{29} } = \frac{ - 5}{ \sqrt{29} } . \frac{ \sqrt{29} }{ \sqrt{29} } = - \frac{5 \sqrt{29} }{29} \\ \\ \sf cos \theta = \frac{ - 2}{ \sqrt{29} } = \frac{ - 2}{ \sqrt{29} } . \frac{ \sqrt{29} }{ \sqrt{29} } = - \frac{2 \sqrt{29} }{29}$

Esses valores de ângulos são bem incomuns, logo será bem difícil encontrar o ângulo correspondente, portanto vamos desenhar o plano de Argand-Gauss e aplicar a devida razão trigonométrica.

• Usarei a tangente para descobrir o ângulo.

$\sf tan \theta = \frac{b}{a} = \frac{ - 5}{ - 2} = \frac{5}{2} \\ \\ \sf \theta = arctan \left( \frac{5}{2} \right) \\ \sf \theta = 68.1985905136 \\ \sf \theta \approx 69{}^{ \circ}$

Transformando em radianos:

$\sf \frac{\pi}{180^{\circ}} .69^{\circ}= \frac{69\pi}{180}=\frac{23\pi}{60}$

Espero ter ajudado