Question

Encontre o:
a) lim x->7 √x+2-3/x-7
b) x-> -∞ x³+5/2x³-x²+4

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Foigo, que a resolução é mais ou menos simples, pois vamos ter algumas indeterminações ao substituir o "x' por "7", na primeira expressão, e quando substituirmos o "x' por "-∞" na segunda expressão. E, nesses casos, teremos sempre que levantar essas indeterminações para podermos dar o limite correto.
Então teremos:

a)

lim [√(x+2) - 3] / (x-7)
x-->7

Veja: se formos substituir o "x" por "7" diretamente na função acima, iremos ficar com algo como "0/0", o que é uma indeterminação. Então teremos que levantar essa indeterminação. Para isso, poderemos fazer o seguinte: encontraremos, de forma independente, a derivada primeira do numerador e a derivada primeira do denominador. Após isso, veremos se, ao substituirmos o "x' por "7", teremos ou não levantado a indeterminação. Então vamos ver:

[√(x+2) - 3]/ (x-7)

- Veja que a derivada primeira de √(x+2) - 3 será:

(x+2)¹/² - 3 ---- derivando, teremos:
(1/2)*(x+2)⁻¹/² * 1 - 0 = 1 / 2)*(x+2)¹/² = 1/2√(x+2) <--- Esta é a derivada do numerador.

- Agora vamos para a derivada primeira do denominador (x-7). Assim:

x - 7 = 1 - 0 = 1 <--- Esta é a derivada primeira do denominador.

Agora vamos encontrar o limite das duas derivadas encontradas de forma independente como vimos acima. Assim teremos:

lim [(1/2√(x+2)] / 1 ---- ou apenas: 
x-->7

lim (1 / 2*√(x+2)  ---- substituindo-se "x" por "7", teremos:
x-->7

(1 / 2√(7+2) = 1 / 2√(9) = 1/2*3 = 1/6 <--- Este é o valor do limite pedido, o que você poderá expressar da seguinte forma:

lim [√(x+2) - 3] / (x-7) = 1/6 <--- Esta é o valor do limite pedido no item "a".
x-->7

b)

lim [x³ + 5] / (2x³ - x² + 4]
x-->-∞

Veja: se formos substituir o "x" por "-∞" diretamente, vamos ficar com algo como "-∞/-∞", o que é uma indeterminação. Então deveremos, a exemplo da questão do item "a", levantar essa indeterminação.
E quando estamos trabalhando com limites tendendo a "-∞" ou a "+∞", deveremos trabalhar apenas com as maiores potências (tanto no numerador como no denominador). Assim, trabalhando apenas com elas, teremos:

lim [x³/2x³] ---- vamos encontrar as derivadas primeira, segunda e terceira, até que não reste mais "x" pra substituirmos. Note que deveremos encontrar as derivadas de forma independente tanto no numerador como no denominador.
Assim teremos:

No numerador:

derivada primeira de x³ = 3x²
derivada segunda de 3x² = 6x
derivada terceira de 6x = 6

No denominador:

derivada primeira de 2x³ = 6x²
derivada segunda de 6x² = 12x
derivada terceira de 12x = 12.

Assim, substituindo-se, teremos:

[6/12] = 6/12 = 1/2 <--- Este é o limite procurado, o que você poderá expressar da seguinte forma:

lim [x³ + 5] / (2x³ - x² + 4] = 1/2 <--- Esta é a resposta para o item "b".
x-->-∞

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.