Matemática, perguntado por fidelisdouglas16, 11 meses atrás

Encontre o 12º termo da P.A. ( -a+5b, 3a-b,...)

Soluções para a tarefa

Respondido por viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da P.A. (-a+5b, 3a-b,...), tem-se:

a)progressão aritmética (P.A.) é uma sequência numérica em que cada termo é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;

b)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: (-a+5b)

c)décimo segundo termo (a₁₂): ?

d)número de termos (n): 12 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 12ª), equivalente ao número de termos.)

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = (3a-b) - (-a+5b) ⇒

r = (3a-b) + a - 5b ⇒

r = 3a - b + a - 5b ⇒

r = 4a - 6b

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o décimo segundo termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₂ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₁₂ = (-a+5b) + (12 - 1) . (4a-6b) ⇒

a₁₂ = (-a+5b) + (11) . (4a-6b) ⇒ (Veja a Observação 2.)

a₁₂ = (-a+5b) + 44a - 66b ⇒

a₁₂ = -a + 5b + 44a - 66b ⇒

a₁₂ = 43a - 61b

Observação 2: Foram aplicadas na parte destacada:

as regras de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+) e dois sinais diferentes, +x- ou -x+, resultam sempre em sinal de negativo (-);
a propriedade distributiva, ou seja, a multiplicação entre cada um dos termos dos dois fatores +(11).(4a-6b) resultando em 11.4a-11.6b.

Resposta: O décimo segundo termo da P.A.(-a+5b, 3a-b,...) é 43a-61b.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₁₂ = 43a-61b na fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o décimo segundo termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₂ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

43a - 61b = a₁ + (12 - 1) . (4a-6b) ⇒

43a - 61b = a₁ + (11) . (4a-6b) ⇒

43a - 61b = a₁ + 44a - 66b ⇒

43a - 61b - 44a + 66b = a₁ ⇒

-a + 5b = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = -a + 5b (Provado que a₁₂ = 43a-61b .)

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