Question

Encontre o 11° termo do binômio (x⁴ - 2x³)¹³ =

Answer 1

Cálculo Breve:

O binômio é sempre da forma: $(a+b)^n$. No seu caso, temos que $a = x^4$, $b = -2 \cdot x^3$

O termo X de um binômio é dado por:

$X = C_{n,p} \cdot a^{n-p} \cdot b^{p}$

Ou, expandindo:

$X = \dfrac{n!}{(n-p)! \cdot p!} \cdot a^{n-p} \cdot b^{p}$

Onde: n é o expoente do binômio, que é 13.

p é o número do termo que você quer calcular -1. Ou seja, você quer o 11° termo, então: p = 11 - 1 = 10. Agora só substitua:

$X = \dfrac{13!}{(13-10)! \cdot 10!} \cdot (x^4)^{13-10} \cdot (-2 \cdot x^3)^{10}$

$X = \dfrac{13!}{3! \cdot 10!} \cdot (x^4)^{3} \cdot (-2 \cdot x^3)^{10}$

Lembra como fazer fatorial? $3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$, $5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$

Ou seja:

$X = \dfrac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 10!} \cdot (x^4)^{3} \cdot (-2 \cdot x^3)^{10}$

Agora nós temos 10! em cima e em baixo, então você corta:

$X = \dfrac{13 \cdot 12 \cdot 11}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot (x^4)^{3} \cdot (-2 \cdot x^3)^{10}$

Fazendo as multiplicações:

$X = \dfrac{1716}{6} \cdot (x^4)^{3} \cdot (-2 \cdot x^3)^{10}$

Fazendo a divisão:

$X = 286 \cdot (x^4)^{3} \cdot (-2 \cdot x^3)^{10}$

Agora, quando um expoente elevado a outro expoente (4 elevado a 3), temos a multiplicação dos expoentes. 4x3 = 12, 3x10 = 30. Note que:

$(x \cdot y)^b = x^b \cdot y^b$

Assim:

$X = 286 \cdot x^{4\cdot 3} \cdot (-2)^{10} \cdot x^{3\cdot 10}$

$X = 286 \cdot x^{12} \cdot (-2)^{10} \cdot x^{30}$

Agora calcula quanto é (-2) elevado a 10:

$(-2)^{10} = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 1024$

Substituindo fica:

$X = 286 \cdot x^{12} \cdot 1024 \cdot x^{30}$

Agora temos uma multiplicação de expoentes de bases iguais: Mantém a base e soma os expoentes:

$X = 286 \cdot 1024 \cdot x^{12+30}$

Se você fizer a multiplicação, 286 vezes 1024 dá 292.864. Ou seja:

$\boxed{X = 292.864 \cdot x^{42}}$