Question

Encontre f. ( alguém me ajuda com essa questão de cálculo)

Answer 1

Olá, boa noite.

Devemos resolver a seguinte equação diferencial ordinária linear não homogênea de segunda ordem e problema de valor inicial:

$f''(x)=x^3+\sinh(x),~f(0)=1,~f(2)=2{,}6$

Primeiro, integramos ambos os lados da igualdade em respeito à variável $x$:

$\displaystyle{\int f''(x)\,dx=\int x^3+\sinh(x)\,dx$

Para calcular estas integrais, lembre-se que:

• A integral é um operador linear, logo vale que: $\displaystyle{\int g(x)+h(x)\,dx=\int g(x)\,dx+\int h(x)\,dx}$ e $\displaystyle{\int c\cdot g(x)\,dx=c\cdot\int g(x)\,dx}$.
• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~C\in\mathbb{R}}$.
• A integral da função seno hiperbólico é a função cosseno hiperbólico: $\displaystyle{\int \sinh(x)\,dx=\cosh(x)+C,~C\in\mathbb{R}}$.
• A integral da função cosseno hiperbólico é a função seno hiperbólico: $\displaystyle{\int \cosh(x)\,dx=\sinh(x)+C,~C\in\mathbb{R}}$
• De acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo, a integral da derivada de uma função é igual a função adicionada de uma constante de integração: $\displaystyle{\int \dfrac{dF(x)}{dx}\,dx=F(x)+C,~C\in\mathbb{R}}$.

Então, sabendo que $f''(x)=(f'(x))'$, aplique a linearidade e calcule a integral

$f'(x)+C_1=\displaystyle{\int x^3\,dx+\int \sinh(x)\,dx}$

Aplique a regra da potência e calcule a integral da função seno hiperbólico

$f'(x)+C_1=\dfrac{x^{3+1}}{3+1}+\cosh(x)+C_2$

Some os valores no expoente e denominador. Subtraia $C_1$ em ambos os lados da igualdade e faça $C_2-C_1=C_3$

$f'(x)=\dfrac{x^4}{4}+\cosh(x)+C_3$

Então, integramos novamente ambos os lados da igualdade em respeito á variável $x$

$\displaystyle{\int f'(x)\,dx=\int \dfrac{x^4}{4}+\cosh(x)+C_3\,dx}$.

Aplique a linearidade e calcule a integral

$f(x)+C_4=\displaystyle{\dfrac{1}{4}\cdot\int x^4\,dx+\int\cosh(x)\,dx+C_3\cdot\int 1\,dx}$

Aplique a regra da potência, sabendo que $1=x^0$ e calcule a integral da função cosseno hiperbólico

$f(x)+C_4=\displaystyle{\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{x^{4+1}}{4+1}+\sinh(x)+C_3\cdot\dfrac{x^{0+1}}{0+1}+C_5$

Some os valores nos expoentes e denominadores e multiplique os termos. Subtraia $C_4$ em ambos os lados da igualdade e faça $C_5-C_4=C_6$

$f(x)=\dfrac{x^5}{20}+\sinh(x)+C_3x+C_6$

Por fim, utilizamos as condições para determinarmos a solução deste problema de valor inicial e resolvemos para as constantes $C_3$ e $C_6$

$f(0)=1\\\\\\ \dfrac{0^5}{5}+\sinh(0)+C_3\cdot 0+C_6=1\\\\\\ \boxed{C_6=1}$

$f(2)=2{,}6\\\\\\ \dfrac{2^5}{20}+\sinh(2)+C_3\cdot 2+1=2{,}6\\\\\\ 1{,}6+\sinh(2)+2C_3+1=2{,}6\\\\\\ 2C_3+\sinh(2)=0\\\\\\ \boxed{C_3=-\dfrac{\sinh(2)}{2}}$

Assim, a função $f$ que buscávamos que satisfaz este problema de valor inicial é:

$\boxed{\bold{f(x)=\dfrac{x^5}{20}+\sinh(x)-\dfrac{\sinh(2)}{2}x+1}}~~\checkmark$