Question

encontre equação da reta tangente que toca o ponto P(-3,0) da equeção da curva y = 9 - X^2

Answer 1

(Por questões didáticas vou chamar de f(x) a função do enunciado, que tu chamou de y)

Sabe-se que a equação reduzida da reta $r$ é dada por $r:\ y=m.x+n$, onde $x \ \mathrm e \ y$ são as coordenadas de um ponto que pertence à reta, $m$ é o coeficiente angular da reta e $n$ é o coeficiente linear da reta. Além disso, dado um ponto $P= (x_P,y_P)$ pertencente ao gráfico da função $f(x)$, temos que $f'(x_P)$ é justamente o valor do coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de $f(x)$ e que passa por P.

Dito isto, podemos encarar a questão:

$m=f'(x_P)= -2.x_P= -2.(-3) \Rightarrow \boxed{m=6}\\ P\in r\Rightarrow y_P=m.x_P+n\Rightarrow 0=6.(-3)+n \Rightarrow \boxed{n=18} \\ \\ \therefore \boxed{r: \ y=6x+18}$