Question

Encontre e escreva no caderno o resto da divisão do polinômio x^5-2x⁴-x³+3x²-2x+5 por:
a)x-1
b)x+1
c)2x+2
d)x-i
GABARITO NA IMAGEM

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Anita, que a resolução é simples.

Pede-se o resto da divisão do polinômio P(x) = x⁵ - 2x⁴ - x³ + 3x² - 2x + 5 por: 

a) x - 1

Veja: que utilizaremos aqui o teorema do resto, que significa isto: o resto de um polinômio P(x) por D(x) = x-a será igual a P(a), pois x-a = 0 ---> x = a..
Então se queremos a divisão do polinômio P(x) por x - 1, então igualaremos "x-1" a zero e encontraremos: x - 1 = 0 ---> x = 1 .
Assim, encontraremos qual é o valor de P(1) no polinômio abaixo e, com isto, estaremos encontrando qual é o resto da divisão de P(x) por "x-1":

P(x) = x⁵ - 2x⁴ - x³ + 3x² - 2x + 5 ----- substituindo-se "x" por "1", teremos:
P(1) = (1)⁵ - 2*1⁴ - 1³ + 3*1² - 2*1 + 5
P(1) = 1 - 2*1 - 1 + 3*1 - 2 + 5
P(1) = 1 - 2 - 1 + 3 - 2 + 5 ---- veja que esta soma algébrica dá exatamente:
P(1) = 4 <--- Esta é a resposta para o item "a".

b) x + 1 ----- fazendo x+1 = 0, teremos: x = - 1
Então vamos procurar o valor de P(-1). Assim, teremos:

P(x) = x⁵ - 2x⁴ - x³ + 3x² - 2x + 5 --- substituindo-se "x" por "-1", teremos:
P(-1) = (-1)⁵ - 2*(-1)⁴ - (-1)³ + 3*(-1)² - 2*(-1) + 5
P(-1) = - 1 - 2*1 - (-1) + 3*1 + 2 + 5
P(-1) = - 1 - 2 + 1 + 3 + 2 + 5 ---- efetuando esta soma algébrica, temos:
P(-1) = 8 <--- Esta é a resposta para o item "b".

c) 2x+2

Fazendo-se "2x+2" igual a zero, teremos:

2x+2 = 0 --> 2x = -2 ---> x = -2/2 --> x = -1

Então, vamos substituir o "x" por "-1", a exemplo dos que já fizemos nas duas questões anteriores. E quando substituímos "x' por "-1" já vimos que o resultado é "8" (pois foi o mesmo que fizemos na questão do item "b"). Assim:

P(-1) = 8 <--- Esta é a resposta para o item "c".

d) x-i ----- fazendo (x-i) igual a zero: --->  x - i = 0 ---> x = i.

Assim, vamos substituir "x' por "i" no polinômio dado, que é este:

P(x) = x⁵ - 2x⁴ - x³ + 3x² - 2x + 5 ---- substituindo-se "x" por "i", teremos:
 
P(i) = i⁵ - 2*i⁴ - i³ + 3i² - 2i + 5

Agora veja que:

i⁵ = i²*i²*i¹ ---- como i² = -1, teremos:
i⁵ = (-1)*(-1)*i
i⁵ = 1*i
i⁵ = i

i⁴ = i²*i² = (-1)*(-1) = 1*1 = 1

i³ = i²*i = -1*i = -i

i² = -1

i = i.

Assim, fazendo as devidas substituições em P(i) = i⁵ - 2*i⁴ - i³ + 3i² - 2i + 5, teremos:

P(i) = i - 2*1 - (-i) + 3*(-1) - 2i + 5
P(i) = i - 2 + i - 3 - 2i + 5 --- vamos ordenar, ficando:
P(i) = i + i - 2i - 2 - 3 + 5
P(i) = 2i -2i - 5 + 5
P(i) = 0 <--- Esta é a resposta para o item "d".

E note que todas as respostas encontradas "batem" com o gabarito da "foto" de cada uma delas.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.