Question

Encontre e classifique os pontos estacionários da função f(x,y)= x^3-3x+〖xy〗^2

Answer 1

➜ Mínimo em (1,0) e Ponto Sela em (-1, 0)

☞ Teste da Derivada Segunda:

$\large\boxed{H( x ,y) =\begin{vmatrix}\frac{\partial ^{2} f}{\partial x^{2}} & \frac{\partial ^{2} f}{\partial x\partial y}\\ & \\\frac{\partial ^{2} f}{\partial y\partial x} & \frac{\partial ^{2} f}{\partial y^{2}}\end{vmatrix}}$

☞ $H(x,y)$ é o hessiano da função. E, a seguir, $(x_0,y_0)$ são as coordenadas dos pontos críticos.

☞ A partir do determinante da matriz hessiana, conclui-se o seguinte:

$\boxed{\begin{cases}H( x_{0} ,y_{0}) >0\Longrightarrow \begin{cases}ponto\ maximo & ,\frac{\partial ^{2} f( x_{0} ,y_{0})}{\partial x^{2}} < 0\\ponto\ minimo & ,\frac{\partial ^{2} f( x_{0} ,y_{0})}{\partial x^{2}} >0\end{cases}\\H( x_{0} ,y_{0}) < 0\Longrightarrow ponto\ sela\\H( x_{0} ,y_{0}) =0\Longrightarrow Nada\ se\ conclui\end{cases}}$

☞ Temos $f(x,y)=x^3-3x+(xy)^2=x^3-3x+x^2y^2$. Para os pontos críticos (estacionários), igualamos as Derivadas Parciais a zero, i.e,

$\begin{array}{l}\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{d\left( x^{3}\right)}{dx} +\frac{d( -3x)}{dx} +y^2\frac{d\left( x^{2} \right)}{dx} =0\Longrightarrow 3x^{2} -3+2xy^{2} =0\ \ \ \ \ \ ( 1)\\\\\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{d\left( x^{3}\right)}{dy} +\frac{d( -3x)}{dy} +x^2\frac{d\left( y^{2}\right)}{dy} =0\Longrightarrow 2x^{2} y=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ( 2)\end{array}$

Da equação (2), x = 0 ou y = 0. Mas x = 0 é impossível, pois a equação (1) resultaria em -3 = 0. Substituindo y = 0 em (1), obtemos

$\large \begin{array}{l}3x^{2} -3+2x( 0)^{2} =0\\\\3x^{2} =3\\\\x^{2} =1\\\\x=\pm 1\end{array}$

Portanto, os pontos críticos são os pontos (-1, 0) e (1,0).

☞As Derivadas Parciais de Segunda Ordem são:

$\large\begin{array}{l}\frac{\partial ^{2} f}{\partial x^{2}} =6x+2y^{2}\\\\\frac{\partial ^{2} f}{\partial y^{2}} =2x^{2}\\\\\frac{\partial ^{2} f}{\partial x\partial y} =\frac{\partial ^{2} f}{\partial y\partial x} =4xy\end{array}$

∴ O Hessiano para função dada é:

$\begin{array}{l}H( x,y) =\begin{vmatrix}6x+2y^{2} & 4xy\\ & \\4xy & 2x^{2}\end{vmatrix} =\\\\=2x^{2}\left( 6x+2y^{2}\right) -16x^{2} y^{2}\\\\=12x^{3} +4x^{2} y^{2} -16x^{2} y^{2}\\\\=12x^{3} -12x^{2} y^{2}\end{array}$

☞ Para o ponto (-1, 0):

$H( -1,0) =12( -1)^{3} -16( -1)^{2}( 0)^{2} =-12$

Como $H(-1,0)<0$, o ponto (-1, 0) é ponto sela.

☞ Para o ponto (1, 0):

$H( 1,0) =12( 1)^{3} -16( 1)^{2}( 0)^{2} =12$

Como $H(1,0)>0$, esse ponto pode ser de máximo ou mínimo, a depender do sinal da Derivada Parcial de Segunda ordem em relação a x:

$\frac{\partial ^{2} f( 1,0)}{\partial x^{2}} =6( 1) +2( 0)^{2} =6$

Como $\frac{\partial ^{2} f( 1,0)}{\partial x^{2}} >0$, segue que o ponto (1, 0) é ponto mínimo.

∴ A função dada tem ponto sela em (-1, 0) e ponto mínimo em (1, 0)

Leia mais sobre esse assunto em:

https://brainly.com.br/tarefa/46542900

https://brainly.com.br/tarefa/34172353