Question

Encontre cinco numeros inteiros em P.A. cuja soma seja 65 e o produto dos dois primeiros termos seja 24.

Answer 1

$a1 = x - 2r \\ \\ a2 = x - r \\ \\ a3 = x \\ \\ a4 = x + 1r \\ \\ a5 = x + 2r$

Os termos estão em PA: 

$x - 2r + x - r + x + x + 1r + x + 2r = 65 \\ \\ 5x = 65 \\ \\ \\ x = \dfrac{65}{5} \\ \\ \\ => x = 13$

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Produto dos dois primeiros termos:

Substitui o valor de x = 13 nos dois primeiros termos
a1 * a2 = 24

$x - 2r * x - r = 24 \\ \\ (13 - 2r) * (13 - r) = 24 \\ \\ 169 - 13r - 26r + 2r^2 - 24 = 0 \\ \\ \\ 2r^2 - 39r - 145 = 0$

Temos uma equação de 2º grau: $2r^2 - 39r - 145 = 0$

Solução da equação por fatoração:

$(r - 5) (2r - 29)$

Igualar os termos à zero (0)

$r - 5 = 0 \\ \\ r = 5 \\ \\ \\ 2r - 29 = 0 \\ \\ 2r = 29 \\ \\ r = \dfrac{29}{2}$

O Segundo termo não é a razão da PA
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Razão da PA  = 5

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Substituir a razão e o termo x = 13 nos termos a1, a2, a3, a4 e a5

$a1 = x - 2r \\ \\ a1 = 13 - 2 * 5 \\ \\ a1 = 13 - 10 \\ \\ a1 = 3$
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$a2 = x - r \\ \\ a2 = 13 - 5 \\ \\ a2 = 8$
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$a3 = x \\ \\ a3 = 13$
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$a4 = x + 1r \\ \\ a4 = 13 + 5 \\ \\ a4 = 18$
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$a5 = x + 2r \\ \\ a5 = 13 + 2*5 \\ \\ a5 = 13 + 10 \\ \\ a5 = 23$

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PA = {3, 8, 13, 18, 23}

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Soma dos 5 primeiros termos:

a1 + a2 + a3 + a4 +a5

3 + 8 + 13 + 18 + 23 = 65

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Produto dos dois primeiros termos:

a1 * a2

3 * 8 = 24