Question

Encontre cinco números em PA, cuja soma seja 45 e o produto do segundo pelo quarto seja 72.​

Answer 1

Resposta:

$PA(15,12,9,6,3)$ ou $PA(3,6,9,12,15)$

Explicação passo a passo:

Podemos representar a soma dos 5 termos dessa Progressão Aritmética da seguinte forma:

1º termo: $x-2r$

2º termo: $x-r$

3º termo: $x$

4º termo: $x + r$

5º termo: $x+2r$

Logo, a soma deles é:

$(x-2r)+(x-r)+x+(x+r)+(x+2r)=45$

Resolvendo, temos que:

$(x-2r)+(x-r)+x+(x+r)+(x+2r)=45\\5x=45\\x=9$

A multiplicação do 2º termo pelo 4º termo pode ser representada dessa forma:

$(x-r)*(x+r)=72$

Substituindo o valor de $x$, que já é conhecido, teremos:

$(9-r)*(9+r)=72\\81-r^2=72\\-r^2=-9\\r^2=9\\r=\pm3$

Neste caso, temos duas Progressões Aritméticas possíveis: uma com razão crescente, $r=3$ e uma com razão decrescente, $r=-3$.

Para razão decrescente: $PA(15,12,9,6,3)$

Para razão crescente: $PA(3,6,9,12,15)$