Question

Encontre as três raízes da equação: x^3-x^2-x-2=0

Passo a passo, com os cálculos!!!​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{S=\left\{x\in\mathbb{C}~|~x=2~ou~x=\dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2}~ou~x=\dfrac{-1-i\sqrt{3}}{2}\right\}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, utilizaremos o teorema das raízes racionais. Consiste em encontrarmos a razão entre os divisores do último termo (termo independente) e os divisores do primeiro termo (termo dominante).

Ao encontrarmos estas razões, utilizaremos o dispositivo prático de Briot-Ruffini para testá-los. Ele serve para diminuir o grau de um polinômio.

Como se trata de uma equação cúbica, o polinômio que encontrarmos após utilizar o dispositivo terá grau 2, o que nos permite resolver utilizando a fórmula resolutiva (conhecida como Fórmula de Bháskara).

Observe a equação que temos

$x^3-x^2-x-2=0$

Encontre os divisores do termo independente. São eles:

$p=\{\pm1,~\pm2\}$

Encontre os divisores do termo dominante.

$q=\{\pm1\}$

Então, encontre a razão entre os divisores. Chamamos de d:

$d=\dfrac{p}{q}=\{\pm1,~\pm2\}$

Então, utilize esses valores no dispositivo prático de Briot-Ruffini. Dispomos os coeficientes da seguinte maneira:

$\underset{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}{~~x~~|~~a~~~~b~~~~c~~~~d}}$

Substitua os valores dos coeficientes, repetindo o primeiro logo abaixo

$\underset{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}{~~x~~|~~~~1~~~~-1~~~~-1~~~~-2}}\\~~~~1~~|~~~~1\\-1~~|~~~~1\\~~~~2~~|~~~~1\\-2~~|~~~~1$

Multiplique o primeiro coeficiente pelo valor que está na coluna do x e some ao próximo. Repita este processo até chegar ao coeficiente final.

$\underset{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}{~~x~~|~~~~1~~~~-1~~~~-1~~~~-2}}\\~~~~1~~|~~~~1~~~~~~~0~~~~-1~~~~-3\\-1~~|~~~~1~~~~-2~~~~~~~1~~~~-3\\~~~~2~~|~~~\boxed{1~~~~~~~~1~~~~~~~1}~~~~~~~0\\-2~~|~~~~1~~~~-3~~~~~~~5~~~-12$

Observe que apenas um dos valores resultou em zero ao final do processo. Isto significa que esta é umas das raízes da equação. As outras, como comentado acima, podem ser encontrados a partir do polinômio que resta no algoritmo.

Este polinômio é formado pelos coeficientes que estão na linha do elemento que é raiz da equação (que está em evidência), logo resolvamos:

$x^2+x+1=0$

Utilizando a fórmula resolutiva $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$, teremos

$x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot 1}}{2\cdot 1}$

Calculando a potência e multiplicando os valores, temos

$x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1-4}}{2}$

Some os valores

$x=\dfrac{-1\pm\sqrt{-3}}{2}$

Lembre-se que $\sqrt{-1}=i$, em que $i$ é a unidade imaginária.

$x=\dfrac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}$

Separe as soluções

$x=\dfrac{-1+ i\sqrt{3}}{2}~~~~x=\dfrac{-1-i\sqrt{3}}{2}$

Logo, as soluções para a equação cúbica são

$S=\left\{x\in\mathbb{C}~|~x=2~ou~x=\dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2}~ou~x=\dfrac{-1-i\sqrt{3}}{2}\right\}$