Question

Encontre as raízes:

$( \sqrt{2 + \sqrt{3} } ) ^{x} + ( \sqrt{2 - \sqrt{3} } ) ^{x} = 4$
​

Answer 1

Resposta:

$\textsf{Leia abaixo}$

Explicação passo a passo:

$\mathsf{\sqrt{(2 + \sqrt{3}})^x + \sqrt{(2 - \sqrt{3}})^x = 4}$

$\mathsf{\sqrt{(2 - \sqrt{3}})^{-x} + \sqrt{(2 - \sqrt{3}})^x = 4}$

$\mathsf{\dfrac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{3}})^{x}} + \sqrt{(2 - \sqrt{3}})^x = 4}$

$\mathsf{1 + \sqrt{(2 - \sqrt{3}})^{x^2} = 4(\sqrt{2 - \sqrt{3}})^x}$

$\mathsf{\sqrt{(2 - \sqrt{3}})^{x^2} - 4(\sqrt{2 - \sqrt{3}})^x + 1 = 0}$

$\mathsf{y = \sqrt{(2 - \sqrt{3}})^{x}}$

$\mathsf{y^2 - 4y + 1 = 0}$

$\mathsf{\Delta = b^2 - 4.a.c}$

$\mathsf{\Delta = (-4)^2 - 4.1.1}$

$\mathsf{\Delta = 16 - 4}$

$\mathsf{\Delta = 12}$

$\mathsf{y = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{4 \pm \sqrt{12}}{2} \rightarrow \begin{cases}\mathsf{y' = \dfrac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}}\\\\\mathsf{y'' = \dfrac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}}\end{cases}}$

$\mathsf{\sqrt{(2 - \sqrt{3}})^{x} = (2 - \sqrt{3})}$

$\mathsf{(2 - \sqrt{3})^{\frac{x}{2}} = (2 - \sqrt{3})}$

$\mathsf{\dfrac{x}{2} = 1}$

$\mathsf{x = 2}$

$\mathsf{\sqrt{(2 - \sqrt{3}})^{x} = (2 + \sqrt{3})}$

$\mathsf{(2 - \sqrt{3})^{\frac{x}{2}} = (2 + \sqrt{3})^{-1}}$

$\mathsf{\dfrac{x}{2} = -1}$

$\mathsf{x = -2}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{S = \{2;-2\}}}}$