Matemática, perguntado por alinesouzamayara, 5 meses atrás

encontre as raízes de cada equação irracional abaixo:
√2x-3=x √x²-3x+3=1

AJUDA POR FAVOR

Soluções para a tarefa

Respondido por lordCzarnian9635
7

O conjunto solução que comporta as raízes de:

  • \sf\sqrt{2x-3}=x é S = ∅ (conjunto vazio);
  • \sf\sqrt{x^2-3x+3}=1 é S = {1; 2}.

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Considerações pré-resolução:

Equações irracionais são sentenças que expressam uma igualdade entre duas expressões, tais que as variáveis encontram-se em radicandos. A forma como inicia-se a resolução varia de equação para equação, mas de forma geral, quando tem-se uma raiz isolada, elevamos ambos os membros da equação ao expoente que tem o mesmo valor do índice desta raiz, de modo a aplicar a propriedade: \tt(\sqrt[\tt n]{\tt x})^n=x.

Resolução

\large\text{$\tt Eq.1~~\sqrt{2x-3}=x$}

Obs.: se o índice da raiz não aparecer, então ela é uma raiz quadrada; logo, seu índice vale 2. Em suma, a equação acima é a mesma que \tt\sqrt[\tt2]{\tt2x-3}=x. Dessa forma, segue que:

\tt\big(\sqrt[\tt2]{\tt2x-3}\big)^2=x^2

\tt2x-3=x^2

\tt x^2-2x+3=0

Calcule o delta para determinar o comportamento de suas raízes:

\sf\Delta\tt=b^2-4ac

\sf\Delta\tt=(-\,2)^2-4\cdot1\cdot3

\sf\Delta\tt=4-12

\sf\Delta\tt=-\,8<0

Dado que delta é negativo, a equação não possui raízes reais. Sendo assim, não há solução para \tt x\in\mathbb{R} que satisfaça a eq.1.

\large\text{$\therefore~\tt\sqrt{2x-3}=x~\implies~S=\Large\text{$\varnothing$}$}

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\large\text{$\tt Eq.2~~\sqrt{x^2-3x+3}=1$}

\tt\big(\sqrt{x^2-3x+3}\big)^2=1^2

\tt x^2-3x+3=1

\tt x^2-3x+2=0

Vejamos agora o valor do delta:

\sf\Delta\tt=b^2-4ac

\sf\Delta\tt=(-\,3)^2-4\cdot1\cdot2

\sf\Delta\tt=9-8

\sf\Delta\tt=1>0

Dado que ele é positivo, a equação possui raízes reais e distintas. Assim sendo, vamos encontrar a solução da eq.2 (farei por Bhaskara mesmo, já que calculamos o delta):

\tt x=\dfrac{-\,b\pm\sqrt{\sf\Delta}}{2a}~\Leftrightarrow~x=\dfrac{-\,(-\,3)\pm\sqrt{1}}{2\cdot1}

\tt~\Leftrightarrow~x=\dfrac{3\pm1}{2}~\Leftrightarrow~\begin{cases}\tt x=\dfrac{3-1}{2}~\Leftrightarrow~x=1\\\vee\\\tt x=\dfrac{3+1}{2}~\Leftrightarrow~x=2\end{cases}

Agora verifique se estes valores são satisfatórios:

\tt\sqrt{1^2-3\cdot1+3}=1~\Leftrightarrow~\sqrt{1-3+3}=1~\Leftrightarrow~\sqrt{1}=1~\Leftrightarrow~1=1~~OK

\tt\sqrt{2^2-3\cdot2+3}=1~\Leftrightarrow~\sqrt{4-6+3}=1~\Leftrightarrow~\sqrt{1}=1~\Leftrightarrow~1=1~~OK

\large\text{$\therefore~\tt\sqrt{x^2-3x+3}=1~\implies~S=\big\{1;~2\big\}$}

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Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.

Anexos:
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