Question

encontre as raízes das equações.
a) 4x 2 + 8x + 6 = 0
b) x 2 – 4x – 5 = 0
c) x 2 - x - 20 = 0
d) x 2 - 3x -4 = 0
e) x 2 - 8x + 7 = 0

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Passo 1 : Você pode simplificar os coeficientes da equação dividindo ambos por "2" . Isso torna mais fácil a resolução.

$4x^{2} +8x+6$

$\frac{4x^{2}}{2} + \frac{8x}{2} + \frac{6}{2}$

$x^{2} +4x+3$

Passo 2 : Resolva o delta (Δ)

$x^{2} +4x+3$

a = 1

b= 4

c= 3(termo independente)

Δ = $b^2 - 4 a . c$

Δ= $4^2 - 4 . 1 . 3$

Δ = 16 - 12

Δ = 4

Passo 3 : Substitua o delta na fórmula de Bhaskara :

$x = \frac{-b+/- \sqrt{delta} }{2a}$    

a = 1

b= 4

c= 3(termo independente)

 $x = \frac{-4 +/- \sqrt{4} }{2. 1}\\\\\\x = \frac{-4 +/- 2}{2}$

Passo 4 : Encontre as raízes

O sinal de +/- (mais ou menos) acompanha toda raiz com radicando positivo. No caso acima, a raiz de "4" pode ser equivalente a 2 ou a -2, isso ocorre porque uma raiz admite tanto valores negativos quanto positivos.

$\sqrt{4}$ = 2. 2 ou (-2).(-2)

logo, se eu multiplicar (-2) .( -2) eu obtenho 4, da mesma forma que se eu multiplicar 2.2 = 4. Isso ocorre porque a multiplicação de dois números negativos gera um número positivo, por que na multiplicação de sinais, menos x menos = mais, "-  .  -  =  + "

Portanto, é devido a esse fato que existem duas possibilidades de raízes.

agora, vamos encontra-las.

x' (representa o valor da raiz com valor positivo )

x'' (representa a segunda raiz com valor negativo)

$x' = \frac{-4 + 2}{2}$

$x' = \frac{-2}{2} = -1$

Observe que na primeira raiz utilizamos o valor positivo da raiz de 4:

$\sqrt{4} = 2$

Vamos para a segunda raiz:

$x'' = \frac{-4 - 2}{2} \\\\x'' = \frac{-6}{2} = -3$

neste caso, o valor da raiz de 4 utilizado foi o -2

$\sqrt{4} = -2$

Conclusão : O conjunto solução :

Toda vez que você for representar as raízes de uma equação, você pode coloca-las na seguinte notação :

S = { }

O "S" vem de "solução". As chaves "{}" representam o agrupamento das possíveis raízes. Lembre de que as raízes devem ser separadas por ponto e vírgula, e a primeira deve ser a menor, enquanto que a segunda a maior. Dessa forma temos :

S = {-2;2}

b) $x^{2} -4x-5 = 0$ (nesse caso, não há a possibilidade de simplificar os coeficientes, pois para trabalharmos, necessitamos de coeficientes inteiros)

Coeficientes :

a = 1

b = -4

c = -5  

Δ = $b^2 - 4 a . c$

Δ = $(-4)^2-4 . 1 . (-5)$

Δ = 16 + 20

Δ = 36

$x = \frac{-b+/- \sqrt{delta} }{2a}$

$x' = \frac{-(-4) + \sqrt{36} }{2}\\x' = \frac{4 + 6}{2}\\x' = 5\\\\x'' = \frac{-(-4) - \sqrt{36} }{2}$ 

$x'' = \frac{4-6}{2}\\\\x'' = \frac{-2}{2}\\x'' = -1$

S = {-1 ; 5}

c) $x^{2} -x- 20 = 0$

a = 1

b = -1

c = -20

Δ = $b^2 - 4 a . c$

Δ = $(-1)^2 - 4 . 1 . (-20)$

Δ = 1 + 80

Δ = 81

$x = \frac{-b+/- \sqrt{delta} }{2a}$

$x =\frac{-(-1) +/- \sqrt{81} }{2}\\ \\x' = \frac{1+9}{2}\\ \\x' = \frac{10}{2} \\ \\x' = 5$

$x''= \frac{-(-1) - \sqrt{81} }{2} \\\\x'' = \frac{1 - 9}{2} \\\\x'' = \frac{-8}{2}\\\\x'' = -4$

S = {-4 ; 5}

d) $x^{2} -3x-4 = 0$

a =  1

b =  -3

c= -4

Δ = $b^2 - 4 a . c$

Δ = $(-3)^2 - 4 . 1 . -4$

Δ = 9 + 16

Δ = 25

$x = \frac{-b+/- \sqrt{delta} }{2a}$

$x' = \frac{-(-3) + \sqrt{25} }{2}\\ \\x' = \frac{3 + 5 }{2} \\\\\x' = \frac{8}{2}\\ \\x' = 4$

$x'' = \frac{-(-3) - \sqrt{25} }{2} \\\\x'' = \frac{3 - 5}{2} \\\\x'' = \frac{-2}{2} \\\\x'' = -1$

S = {-1 ; 4}

e) $x^{2} - 8x + 7$

a = 1

b = -8

c = 7

Δ = $b^2 - 4 a . c$

Δ = $(-8)^2 - 4 . 1 . 7$

Δ = 64 - 28

Δ =  36

$x = \frac{-b+/- \sqrt{delta} }{2a}$

$x' = \frac{-(-8) + \sqrt{36} }{2} \\\\x' = \frac{8+ 6}{2} \\\\x' = \frac{14}{2}\\ \\x' = 7$

$x'' = \frac{-(-8) - \sqrt{36} }{2}\\ \\x'' = \frac{8 - 6}{2}\\ \\x'' = \frac{2}{2}\\\\x'' = 1$

S = {1 ; 7}