Question

Encontre as novas coordenadas do segmento de reta AB, com A(1,1) e B(3,4), após uma rotação de 90° no sentido anti-horário em relação ao ponto A. ​

Answer 1

R: B' ( - 2,3 ).

$\colorbox{cyan}{\color{white}\texttt{passo \: a \: passo☕︎︎} }$

O ponto A(1, 1) e o ponto B(3, 4) representam geometricamente os complexos W = 1 + i e z = 3 + 4i. Como a rotação é torno do ponto A, devemos rotacionar apenas o número complexo t que equivale à diferença z - w ( no caso, t = z - w = 2 + 3i ) e depois somá-lo novamente com w. Assim, para haver uma rotação de 90° no sentido Anti-horário precisamos multiplicar por i e depois somar t' + w, pois a rotação é em torno de w:

• ✎ t' = (2 + 3) • i = - 3 + 2i
• ✐t' + w = - 3 + 2i + 1 + i = - 2 + 3i

☄︎ Assim, as novas coordenadas do ponto B são - 2 e 3, ou seja, ☃︎ o ponto A(1, 1) se mantém após a rotação e B'( - 2,3 ) ✔

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que as coordenadas do segmento AB após a rotação de 90° no sentido anti-horário do ponto B em relação ao ponto A são, respectivamente:

                    $\Large\begin{cases} A(1, 1)\\B'(-2, 3)\end{cases}$

Sejam os pontos:

                      $\Large\begin{cases} A(1, 1)\\B(3, 4)\end{cases}$

Uma das aplicações dos números complexos é a realização de rotações de pontos no plano cartesiano. Para que isso seja possível, devemos impor que cada par ordenado do plano cartesiano pode ser representado por um afixo de um número complexo. Desta forma, temos os seguintes afixos:

                  $\Large\begin{cases} A(z_{1}) = (1, 1)\\A(z_{2}) = (3, 4)\end{cases}$

Desta forma, temos os seguintes números complexos:

                      $\Large\begin{cases} z_{1} = 1 + i\\z_{2} = 3 + 4i\end{cases}$

Como estamos interessado apenas na rotação do segmento AB, então, devemos calcular o número complexo "w", sendo desse modo, a diferença entre z2 e z1, ou seja:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} w = z_{2} - z_{1}\end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (3 + 4i) - (1 + i)\end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 3 + 4i - 1 - i\end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 2 + 3i\end{gathered}$

                $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:w = 2 + 3i\end{gathered}$

Sabendo que todo número complexo pode ser representado na forma polar por:

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} z = re^{i\phi}\end{gathered}$

Se:

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} e^{i\phi} = \cos\phi + i\cdot\sin\phi\end{gathered}$

Então, temos:

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} z = r(\cos\phi + i\cdot\sin\phi)\end{gathered}$

Realizando uma rotação "θ" no sentido anti-horário temos:

  $\Large\displaystyle\begin{gathered} x' + iy' = re^{i(\phi + \theta)}\end{gathered}$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} = r\left[\cos(\phi + \theta) + i\cdot\sin(\phi + \theta)\right]\end{gathered}$

                   $\large\displaystyle\begin{gathered} = r(\cos\phi\cos\theta - \sin\phi\sin\theta) + ir(\sin\phi\cos\theta + \sin\theta\cos\phi)\end{gathered}$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} = -\sin\theta x + \cos\theta y + i (\cos\theta x + \sin\theta y)\end{gathered}$

Então:

                  $\Large\begin{cases} x' = -\sin\theta x + \cos\theta y\\y' = \cos\theta x + \sin\theta y\end{cases}$

Desta forma temos:

                 $\Large\begin{cases} x' = -\sin\theta x_{w} + \cos\theta y_{w}\\y' = \cos\theta x_{w} + \sin\theta y_{w}\end{cases}$          

Então:

               $\Large\begin{cases} x' = -\sin90^{\circ}\cdot2 + \cos90^{\circ}\cdot3\\y' = \cos90^{\circ}\cdot2 + \sin90^{\circ}\cdot3\end{cases}$

Continuando, temos:

              $\Large\begin{cases} x' = -1\cdot2 + 0\cdot3\\y' = 0\cdot2 + 1\cdot 3\end{cases}\Longrightarrow \Large\begin{cases} x' = -2\\y' = 3\end{cases}$

Portanto, o novo número complexo é:

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} w' = -2 + 3i\end{gathered}$

E o afixo de w' é:

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} A(w') = (-2, 3)\end{gathered}$

Portanto, o ponto B' é:

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} B' = A(w') = (-2, 3)\end{gathered}$

✅ Portanto, as coordenadas do segmento AB após a rotação é:

                                     $\Large\begin{cases} A(1, 1)\\B'(-2, 3)\end{cases}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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