Question

Encontre as integrais indefinidas

$\int\limits {\frac{1}{1+x^2} } \, dx$
$\int\limits {2e^x} \, dx$
$\int\limits {(3e^x+x^3)} \, dx$
$\int\limits {(senx-5e^x)} \, dx$

Answer 1

Após a realização dos cálculos ✍️, podemos concluir mediante ao conhecimento de integrais indefinidas que:

a) $\displaystyle\sf\int\dfrac{1}{1+x^2}dx=arc\,tg(x)+k$✅

b) $\displaystyle\sf\int 2e^xdx=2e^x+k$✅

c)$\displaystyle\sf\int (3e^x+x^3)dx=3e^x+\dfrac{1}{4}x^4+k$✅

d) $\displaystyle\sf\int (sen(x)-5e^x)dx=-cos(x)-5e^x+k$✅

Integrais indefinidas

Chama-se integral indefinida ao ferramenta matemática que desfaz a derivada de uma função. Estas integrais recebem este nome porque existe uma constante k que representa uma família de funções.

por exemplo $\displaystyle\sf\int cos(x)dx=sen(x)+k$ porque  a função seno acrescida de uma constante real  é resposta para a pergunta : qual função cuja derivada é igual ao cosseno de determinado ângulo?

Regras básicas de integração

• $\displaystyle\sf\int af(x)dx=a\int f(x)dx$ ou seja a integral do produto de uma constante por uma função é igual a constante multiplicada pela integral da função.
• $\displaystyle\sf\int dx=x+k$ ou seja a integral do diferencial de x é igual a função identidade acrescida de uma constante
• $\displaystyle\sf\int [f(x)\pm g(x)]dx=\int f(x)dx\pm\int g(x)dx$ ou seja a integral da soma/diferença é igual a soma/diferença das integrais
• $\displaystyle\sf\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+k, n\ne-1$  ou seja a integral da potência é igual a fração cujo numerador é a variável elevado ao expoente mais uma unidade e cujo denominador é a igual ao expoente da variável somado com 1, desde que este expoente não seja -1.

Integrais da função exponencial de base e

$\large\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf\int e^xdx=e^x+k\end{array}}$

integral que produz a função arco tangente

$\large\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf\int\dfrac{du}{a^2+u^2}=\dfrac{1}{a}arc\,tg\bigg(\dfrac{u}{a}\bigg)+k\end{array}}$

✍️Vamos a resolução da questão

a) Observe que esta é uma integral que produz a função arco tangente onde a=1, portanto

$\large\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf\int \dfrac{dx}{1+x^2}=\int\dfrac{dx}{1^2+x^2}=\dfrac{1}{1}arc\,tg\bigg(\dfrac{x}{1}\bigg)+k\\\\\displaystyle\sf\int\dfrac{dx}{1+x^2}=arc\,tg(x)+k\end{array}}$

b)  aqui vamos escrever a constante para fora da integral e aplicar a integral da função exponencial de base e.

$\large\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf\int 2e^xdx=2\int e^xdx=2e^x+k\end{array}}$

c) aqui vamos separar as integrais em somas, escrever a constante para fora da 1ª integral e utilizar a integral da potência para resolva a 2ª.

$\large\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf\int (3e^x+x^3)dx=3\int e^x+\int x^3dx\\\\\displaystyle\sf\int(3e^x+x^3)dx=3e^x+\dfrac{x^{3+1}}{3+1}+k\\\\\displaystyle\sf\int(3e^x+x^3)dx= 3e^x+\dfrac{x^4}{4}+k\end{array}}$

d) aqui vamos separar o integrando em duas integrais onde na 1ª integral vamos utilizar a integral do seno e no 2ª integral iremos escrever a constante para fora da integral e utilizar a integral da função exponencial de base e.

$\large\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf\int( sen(x)-5e^x)dx=\int sen(x)\,dx-\int 5e^x\,dx\\\displaystyle\sf\int( sen(x)-5e^x)\,dx=\int sen(x)\,dx-5\int e^x\,dx\\\displaystyle\sf\int (sen(x)-5e^x)\,dx=-cos(x)-5e^x+k\end{array}}$

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