Question

Encontre as funções na forma y=ax^2+bx+c representadas graficamente abaixo.

Answer 1

Boa noite.

Podemos usar informações úteis em cada gráfico para ter a informação geral.

I) Temos que c = 1, pois é onde corta y.

Podemos notar que  ela possui uma única raiz em 3, e por isso pode ser expresso como

$y = a(x-3)^2$ , pois 3 é raiz dupla.

Como (0, 1) pertence à parábola:

$1 = a(0-3)^2\\ \\ a = 1/9$

Então a função é:

$y = \dfrac{x^2-6x+9}{9}\\ \\ \boxed{y = \frac{1}{9}x^2-\frac{2}{3}x+1}$



II) Tem raízes em 3 e 7, e por isso pode ser expressa da forma fatorada:

$y=a(x-3)(x-7)$

Pela simetria da parábola, o vértice está no ponto médio das raízes, que é 5. Então, o ponto (5, 3) pertence à parábola, então podemos substituí-lo.

$3=a(5-3)(5-7)\\ 3 = 2\cdot (-2)\cdot a\\ \\ a = -3/4$

$y=-\dfrac{3}{4}(x-3)(x-7)=-\dfrac{3}{4}(x^2-10x+21)\\ \\ \\ \boxed{y = -\frac{3}{4}x^2+\frac{15}{2}x-\frac{63}{4}}$



III) Temos que c = -13 [confira o seu desenho ;)  ] . O vértice em x é 17, em y é -7.

$-\dfrac{b}{2a} = 17\\ \\ b = -34a$
, e f(17) deve ser -7.

$y = ax^2+bx+c\\ \\-7 = a(17)^2 + (-34a)(17)-13\\ \\ 6 = 289a-578a\\ \\ 289a = -6\\ \\ a =-\frac{6}{289}$

Logo, 
$b = 2\cdot17\cdot\frac{6}{17^2} \\ \\ b=\frac{12}{17}$

Então a função é:

$\boxed{y = -\frac{6}{289}x^2+\frac{12}{17}x-13}$