Question

Encontre as equações das retas tangentes ao gráfico da função f(x)=x²+4.
Sabendo que essas retas passam pelo ponto Q(2,1).Note que o ponto Q não pertence ao gráfico de F.

Answer 1

Seja: f(x) = x² + 4, sua derivada f'(x) dirá qual é a inclinação da reta tangente ao ponto (x,f(x)).

f'(x) = 2x

Para que o ponto Q(2,1) trace retas tangentes ao gráfico de F, então ele deve satisfazer a equação:

y - yo = m.(x - xo)

m = (y - yo)/(x - xo)

m = (y - 1)/(x - 2)

Nesse caso, a inclinação m deve valer 2x, pois toda reta tangente a f(x) em um ponto x terá essa inclinação. Porém, apenas isso não basta: a reta também tem que tangenciar a função y = f(x).

Dessa forma, precisamos encontrar o x correspondente a um valor y =  f(x) = x² + 4 que tanto crie retas tangentes a f(x), como passe pelo ponto Q(2,1). Ou seja, substituiremos no lugar de m: 2x e no lugar de y: x² + 4.

Equação: 2x = (x² + 4 - 1)/(x - 2)

Raiz 1: x' = (2 + √7) → m' = 2.(2  + √7) = (4 + 2√7)

Raiz 2: x'' = (2 - √7) → m'' = 2.(2  - √7) = (4 - 2√7)

Portanto,

y - yo = m.(x - xo)

y' = (4 + 2√7).(x - 2) + 1

y' = (4 + 2√7).x - 4√7 - 7

y'' = (4 - 2√7).(x - 2) + 1

y'' = (4 - 2√7).x + 4√7 - 7

Answer 2

Deixo em anexo os casos notáveis da multiplicação, a fórmula resolvente (Fórmula de Bhaskara) e a tabela de sinais da multiplicação para ajudar no entendimento da resposta.

O declive de uma reta tangente ao gráfico de uma função f no ponto de coordenadas (x ; y) é dado pela derivada da função nesse ponto.

• Determinação da derivada de f

    $f'(x)=(x^2+4)'\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f'(x)=(x^2)'+4'\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f'(x)=2x+0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f'(x)=2x$

• Determinação dos valores de x que satisfazem o enunciado

Como falamos de retas, cuja equação é do tipo  $y=mx+b$ , em que m representa o declive da reta e b representa a ordenada na origem, podemos usar a fórmula para o cálculo do declive e conjugá-la com os dados que já temos para calcular os valores de x que satisfazem o enunciado.

    $m=\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow2x=\dfrac{1-y}{2-x}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{2x(2-x)}{2-x}=\dfrac{1-(x^2+4)}{2-x}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{4x-2x^2}{2-x}=\dfrac{1-x^2-4}{2-x}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{-2x^2+4x}{2-x}-\dfrac{-x^2-3}{2-x}=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{-2x^2+4x-(-x^2-3)}{2-x}=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{-2x^2+4x+x^2+3}{2-x}=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{-x^2+4x+3}{2-x}=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow -x^2+4x+3=0\;\;\wedge\;\;2-x\not=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\left(x=2-\sqrt{7}\;\;\vee\;\;x=2+\sqrt{7}\right)\;\;\wedge\;\;-x\not=-2\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\left(x=2-\sqrt{7}\;\;\vee\;\;x=2+\sqrt{7}\right)\;\;\wedge\;\;x\not=2\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=2-\sqrt{7}\;\;\vee\;\;x=2+\sqrt{7}$

• Determinação dos pontos do gráfico de f que pertencem às tangentes

    $f(2-\sqrt{7})=(2-\sqrt{7})^2+4\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f(2-\sqrt{7})=2^2-2\times2\sqrt{7}+(\sqrt{7})^2+4\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f(2-\sqrt{7})=4-4\sqrt{7}+7+4\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f(2-\sqrt{7})=-4\sqrt{7}+15$

    $f(2+\sqrt{7})=(2+\sqrt{7})^2+4\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f(2+\sqrt{7})=2^2+2\times2\times\sqrt{7}+(\sqrt{7})^2+4\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f(2+\sqrt{7})=4+4\sqrt{7}+7+4\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f(2+\sqrt{7})=4\sqrt{7}+15$

• Determinação dos declives das tangentes

Sejam  $m_1$  e  $m_2$  os declives das tangentes:

$m_1=2\times(2-\sqrt{7})=4-2\sqrt{7}$

$m_2=2\times(2+\sqrt{7})=4+2\sqrt{7}$

• Determinação da ordenada na origem (b) das tangentes

    $y=m_1x+b_1\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow -4\sqrt{7}+15=(4-2\sqrt{7})(2-\sqrt{7})+b_1\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow -4\sqrt{7}+15=4\times2+4\times(-\sqrt{7})-2\sqrt{7}\times2-2\sqrt{7}\times(-\sqrt{7})+b_1\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow -4\sqrt{7}+15=8-4\sqrt{7}-4\sqrt{7}+2(\sqrt{7})^2+b_1\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow -4\sqrt{7}+15=8-8\sqrt{7}+2\times7+b_1\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow -4\sqrt{7}+15=8-8\sqrt{7}+14+b_1\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow -4\sqrt{7}+15=-8\sqrt{7}+22+b_1\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow -4\sqrt{7}+15+8\sqrt{7}-22=b_1\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow b_1=-4\sqrt{7}+8\sqrt{7}+15-22\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow b_1=4\sqrt{7}-7$

    $y=m_2x+b_2\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow 4\sqrt{7}+15=(4+2\sqrt{7})(2+\sqrt{7})+b_2\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow 4\sqrt{7}+15=4\times2+4\sqrt{7}+2\sqrt{7}\times2+2\sqrt{7}\times\sqrt{7}+b_2\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow 4\sqrt{7}+15=8+4\sqrt{7}+4\sqrt{7}+2(\sqrt{7})^2+b_2\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow 4\sqrt{7}+15=8+8\sqrt{7}+2\times7+b_2\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow 4\sqrt{7}+15=8+8\sqrt{7}+14+b_2\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow 4\sqrt{7}+15=8\sqrt{7}+22+b_2\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow 4\sqrt{7}+15-8\sqrt{7}-22=b_2\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow b_2=4\sqrt{7}-8\sqrt{7}+15-22\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow b_2=-4\sqrt{7}-7$

• Determinação das equações das tangentes ( $y=mx+b$ )

Tangente 1:     $y=\left(4-2\sqrt{7}\right)x+4\sqrt{7}-7$

Tangente 2:     $y=\left(4+2\sqrt{7}\right)x-4\sqrt{7}-7$

    Cálculos Auxiliares    

    $x^2+4x+3=0$

    $x=\dfrac{-4\pm\sqrt{4^2-4\times(-1)\times3}}{2\times(-1)}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{-4\pm\sqrt{16+4\times3}}{-2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{-4\pm\sqrt{16+12}}{-2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{-4\pm\sqrt{28}}{-2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{-4\pm2\sqrt{7}}{-2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{-4-2\sqrt{7}}{-2}\;\;\vee\;\;x=\dfrac{-4+2\sqrt{7}}{-2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=2+\sqrt{7}\;\;\vee\;\;x=2-\sqrt{7}$