Question

Encontre as equações das retas tangentes à elipse x²+4y²=4 que passam pelo ponto (0,2)

Answer 1

$\displaystyle \sf \text{Equa{\c c}{\~o}es das retas tangentes {\`a} elipse }x^2+4y^2=4 \\\\ \text{que passam pelo ponto (0,2) }$

A equação da reta tangente vai ser do tipo :

$\displaystyle \sf y-2=m\cdot (x-0 )\\\\ y = m\cdot x+2$

Vamos substituir esse valor de y na equação da elipse e resolver para x :

$\displaystyle \sf x^2+4\cdot (m\cdot x+2)^2=4 \\\\ x^2 + 4\cdot(m^2 x^2+4mx+4)=4 \\\\ x^2 + 4m^2x^2+16mx+16-4=0 \\\\ (4m^2+1)x^2+16mx+12 = 0$

Se a reta é tangente então só há um ponto de interseção, pra isso acontecer o Delta tem que ser 0, isto é :

$\displaystyle \Delta =0 \\\\ \sf (16m)^2-4\cdot(4m^2 +1)\cdot 12 = 0 \\\\ (16m)^2=48(4m^2+1) \\\\ 16\cdot 16\cdot m^2 = 16\cdot 3\cdot (4m^2+1) \\\\ 16m^2 = 12m^2+3 \\\\ (16-12)m^2=3 \\\\ m^2 = \frac{3}{4} \\\\\\ m = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$

Daí, as equações das retas tangentes à elipse passando pelo ponto (0,2) serão :

$\displaystyle \sf I) \ y = \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot x +2 \\\\\\ \boxed{\sf \frac{\sqrt3}{2}\cdot x-y+2=0 } \checkmark \\\\\\\\ II) \ y =\frac{-\sqrt3}{2}\cdot x +2 \\\\\\ \boxed{\sf \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot x+y-2 = 0 }\checkmark$