Question

Encontre as equações da reta tangente a curva no ponto dado:
a) y= raiz quarta de x ponto (1,1)
b)f(x)= x^4-2x^3+x^2 ponto (1,0)
c) y= x^4 + 2e(euler)^x ponto (0,2)
Preciso muito dessas questões!! Muito obrigada!

Answer 1

Temos as seguintes funções:

$\sf 1. \: y = \sqrt[4]{x} \to P(1,1) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf 2. \: f(x) = x {}^{4} - 2x {}^{3} + x {}^{2} \to P(1,0) \\ \sf 3. \: y = x {}^{4} + 2e {}^{x} \to P(0,2) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

A questão quer saber quais as retas tangentes a cada um dessas funções, para realizar esse cálculo vamos seguinte um roteiro:

• 1 → Encontrar o coeficiente da reta tangente através da derivada dessa função. (Conceito algébrico de derivada é justamente o coeficiente angular).
• 2 → Substituir o valor da abscissa (x) do ponto informado pela questão P(x,y).
• 3. Substituição do valor encontrado no tópico 2 e os valores do ponto P(x,y) na equação fundamental da reta, dada por y - y0 = m.(x-x0).

Passo 1: Derivada.

$\sf 1. \: y = \sqrt[4]{x} \longrightarrow \sf y = (x) {}^{ \frac{1}{4} } \longrightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{x}{4x {}^{ \frac{3}{4} } } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf 2. \: f(x) = x {}^{4} - 2x {}^{3} + x {}^{2} \longrightarrow \frac{dy}{dx} = 4x {}^{3} - 6x {}^{2} + 2x \\ \\ \sf 3. \: y = x {}^{4} + 2e {}^{x} \longrightarrow \frac{dy}{dx} = 4x {}^{3} + 2e {}^{x} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Passo 2: Substituição da abscissa.

$\sf \frac{dy}{dx} = \frac{1}{4x {}^{ \frac{3}{4} } } \longrightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{4.1 {}^{ \frac{3}{4} } } \longrightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{4} \\ \\ \sf\frac{dy}{dx} = 4x {}^{3} - 6x {}^{2} + 2x \longrightarrow \frac{dy}{dx} = 0 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} = 4x {}^{3} + 2e {}^{x} \longrightarrow \frac{dy}{dx} = 1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Passo 3: Substituição na equação fundamental da reta.

$\sf 1. \: y - y_0 = m.(x - x_0) \: \\ \sf y - 1= \frac{1}{4} .(x - 1) \\ \sf y - 1 = \frac{x}{4} - \frac{1}{4} \: \: \: \: \: \: \\ \sf y = \frac{x}{4} - \frac{1}{4} + 1 \: \: \: \: \: \\ \sf x - 4y + 3 = 0 \: \: \: \: \: \\ \\ \sf 2. \: y - y_0 = m.(x - x_0) \\ \sf y - 0 = 0.(x - 1) \\ \sf y = 0 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf 3. \: y - y_0 = m.(x - x_0) \\ \sf y - 2 = 1.(x - 0) \\ \sf y - 2 = x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf x - y + 2 = 0 \: \: \: \: \: \: \:$

Espero ter ajudado