Question

Encontre as dimensões de um retângulo com área de 1000m2 e cujo perímetro seja o menor possivel

Answer 1

Se a área do retângulo é $1\,000\text{ m}^{2},$ então as dimensões desse retângulo são

largura = $x;$

altura = $\dfrac{1\,000}{x}.$


Como $x$ é uma medida de comprimento, devemos ter a restrição

$x>0$


$\bullet\;\;$ O perímetro $p(x)$ é a soma do comprimento de todos os lados:

$p(x)=x+\dfrac{1\,000}{x}+x+\dfrac{1\,000}{x}\\ \\ \\ p(x)=2\left(x+\dfrac{1\,000}{x} \right )$


$\bullet\;\;$ Derivando a função $p(x):$

$p'(x)=2\left(1-\dfrac{1\,000}{x^{2}} \right )$


$\bullet\;\;$ Encontrando os pontos críticos da função $p(x):$

$p'(x)=0\\ \\ 2\left(1-\dfrac{1\,000}{x^{2}} \right )=0\\ \\ \\ 1-\dfrac{1\,000}{x^{2}}=0\\ \\ \\ \dfrac{1\,000}{x^{2}}=1\\ \\ \\ x^{2}=1\,000\\ \\ x=\pm \sqrt{1\,000}\\ \\ x=\pm \sqrt{10^{2}\cdot 10}\\ \\ x=\pm 10\sqrt{10}$


Como $x>0,$ desprezamos o valor negativo e chegamos a

$x=10\sqrt{10}\text{ m}.$


O comprimento do retângulo é

$\dfrac{1\,000}{x}\\ \\ \\ =\dfrac{1\,000}{10\sqrt{10}}\\ \\ \\ =10\sqrt{10}\text{ m}.$


Na verdade, este retângulo é um quadrado, cujos lados medem $10\sqrt{10}\text{ m}.$