Question

Encontre as derivadas parciais, de segunda ordem, da função:
f(x,y)=xcos(xy)-ysen(xy)

Answer 1

Em relação a "$x$":
Aplicando a regra da soma: $f'g+fg'$, e separando a função em duas partes pelo sinal do menos, temos:
$f'=1;g'=-ysen(xy)$

$f_x=1cos(xy)+x[-ysen(xy)]$
$f_x=cos(xy)-xysen(xy)$ 1ª parte

$f'=0;g'=ycos(xy)$

$f_x=0sen(xy)+y[ycos(xy)]$
$f_x=y^2cos(xy)$ 2ª parte

Agora juntando as duas partes: $f_x=cos(xy)-xysen(xy)-y^2cos(xy)$
Em relação a "$x$" está pronto. Agora em relação a "$y$" e aplicando as mesmas regras anteriores e separando as partes pelo sinal do menos, temos:

$f'=0;g'=-sen(xy)$

$f_y=0cos(xy)+x[-xsen(xy)]$
$f_y=-x^2sen(xy)$ 1ª parte

$f'=1;g'=xcos(xy)$

$f_y=1sen(xy)+y[xcos(xy)]$
$f_y=sen(xy)+xycos(xy)$ 2ª parte

Juntando...

$f_y=-x^2sen(xy)-sen(xy)-xycos(xy)$

Pronto!