Question

Encontre as derivadas de ordem superior (fyyy) pedidas a seguir: f(x,y) = x²e^(y) + 3y^(4)

Answer 1

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$\sf{f(x,y)=x^2e^y+3y^4}\\\sf{f(y)=x^2e^y+12y^3}\\\sf{f(y,y)=x^2e^y+36y^2}\\\sf{f(y,y,y)=x^2e^y+72y}$

Answer 2

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{\dfrac{\partial^3f}{\partial y^3}=x^2e^y+72y}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para encontrarmos a derivada de ordem 3 da função definida por duas variáveis, devemos relembrar das propriedades de derivada parcial.

Seja a função $f(x, y)=x^2e^y+3y^4$, buscamos $\dfrac{\partial^3f}{\partial y^3}$.

Primeiro, calculamos a derivada de ordem 1, lembrando que $\dfrac{\partial^nf}{\partial y^n}=\underbrace{\dfrac{\partial}{\partial y}\cdots}_{n-1~vezes}\left(\dfrac{\partial f}{\partial y}}\right)$

Dessa forma, teremos

$\partial_yf=\partial_y(x^2e^y+3y^4)$

Lembre-se que:

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas: $(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$.
• A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada do produto entre uma constante e uma função é dada pelo produto entre a constante e a derivada da função: $(a\cdot f(x))'=a\cdot f'(x)$.
• A derivada da função exponencial é ela própria: $(e^x)'=e^x$.

Aplique a regra da soma

$\partial_yf=\partial_y(x^2e^y)+\partial_y(3y^4)$

Aplique a regra da constante

$\partial_yf=x^2\cdot\partial_y(e^y)+3\cdot\partial_y(y^4)$

Calcule as derivadas

$\partial_yf=x^2\cdot e^y+3\cdot4\cdot y^3$

Multiplique os valores

$\partial_yf=x^2e^y+12y^3$

Então, calculamos a derivada de ordem 2, de acordo com o que foi discutido anteriormente:

$\partial_{yy}f=\partial_y(\partial_y f)=\partial_y(x^2e^y+12y^3)$

Aplique a regra da soma

$\partial_{yy}f=\partial_y(x^2e^y)+\partial_y(12y^3)$

Aplique a regra da constante

$\partial_{yy}f=x^2\cdot\partial_y(e^y)+12\cdot\partial_y(y^3)$

Calcule as derivadas

$\partial_{yy}f=x^2\cdot e^y+12\cdot3\cdot y^2$

Multiplique os valores

$\partial_{yy}f=x^2e^y+36y^2$

Por fim, calculamos a derivada de ordem 3

$\dfrac{\partial^3f}{\partial y^3}=\partial_{y}(\partial_{yy}f)=\partial_y(x^2e^y+36y^2)$

Aplique a regra da soma

$\dfrac{\partial^3f}{\partial y^3}=\partial_y(x^2e^y)+\partial_y(36y^2)$

Aplique a regra da constante

$\dfrac{\partial^3f}{\partial y^3}=x^2\cdot\partial_y(e^y)+36\cdot\partial_y(y^2)$

Calcule as derivadas

$\dfrac{\partial^3f}{\partial y^3}=x^2\cdot e^y+36\cdot 2\cdot y$

Multiplique os valores

$\dfrac{\partial^3f}{\partial y^3}=x^2e^y+72y$

Esta é a derivada de ordem 3 desta função.