Question

Encontre as derivadas de ordem superior (fyy e fxx) pedidas a seguir: f(x,y) = (x+y)/√(y²+x²)

Answer 1

Derivadas parciais

Nas derivadas parciais a ideia é sempre achar a derivada da função em relação a uma das variáveis.

Uma vez que o enunciado solicita as derivadas de segunda ordem, vamos achar as derivadas de primeira ordem para ambas variáveis.

$\sf{ \red{ f(x,y)~=~ \dfrac{x + y}{ \sqrt{y^2 + x^2 } } } }$

Para em relação a x :

Aplicando a regra do Quociente :

$\sf{ \dfrac{\partial f}{\partial x}~=~\dfrac{ (x + y)'*\sqrt{y^2 + x^2} - (x + y)(\sqrt{y^2 + x^2}) }{( \sqrt{y^2 + x^2})^2} }$

$\sf{ \dfrac{\partial f}{\partial x}~=~ \dfrac{ \sqrt{y^2+x^2} - (x + y)\frac{ \cancel{2}x }{\cancel{2}\sqrt{y^2+x^2}} }{y^2 + x^2} }$

$\sf{ \dfrac{\partial f}{\partial x}~=~ \dfrac{ \sqrt{y^2+x^2} - \frac{ x^2 - xy}{\sqrt{y^2+x^2}} }{y^2 + x^2} }$

$\sf{ \dfrac{\partial f}{\partial x}~=~ \dfrac{ \frac{\sqrt{(y^2 + x^2)^2} - x^2 - xy}{\sqrt{y^2 + x^2}}}{ y^2 + x^2} }$

$\sf{ \dfrac{ \partial f}{\partial x}~=~\dfrac{y^2+x^2 - x^2 - xy}{(y^2+x^2)\sqrt{y^2+x^2}} }$

$\sf{ \purple{ \dfrac{ \partial f}{\partial x}~=~ f_{x}~=~ \dfrac{ y^2 - xy }{(y^2 + x^2)\sqrt{y^2 + x^2}} } }$

Agora vamos achar a derivada em relação a y :

$\sf{ \dfrac{\partial f}{\partial y}~=~ \dfrac{ x^2 - xy }{(y^2 + x^2)\sqrt{y^2 + x^2}} }$

Agora vamos achar a fyy :

$\sf{ \dfrac{\partial}{\partial y}\Big( \dfrac{\partial f}{\partial y}\Big)~=~\dfrac{ \partial^2 f}{\partial y^2}~=~ \dfrac{ (x^2 - xy)'(y^2 + x^2)\sqrt{y^2 + x^2} - (x^2- xy)[(y^2+x^2)\sqrt{y^2+x^2}]' }{ [(y^2+x^2)\sqrt{y^2+x^2}]^2} }$

$\sf{ \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}~=~ \dfrac{ -x(y^2+x^2)\sqrt{y^2+x^2} - (x^2 - xy)[ 2y\sqrt{y^2+x^2} + (y^2+x^2)\frac{y}{\sqrt{y^2+x^2}]} }{(y^2+x^2)^2(y^2 + x^2)} }$

$\sf{ \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}~=~ \dfrac{ -x(y^2+x^2)\sqrt{y^2+x^2} - (x^2-xy)[ \frac{3y(y^2+x^2)}{\sqrt{y^2+x^2}}] }{ (y^2 + x^2)^3 } }$

$\sf{ \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}~=~\dfrac{ -x(y^2+x^2)\sqrt{y^2+x^2} - \frac{3y(x^2-xy)(y^2+x^2)}{\sqrt{y^2+x^2}} }{ (y^2 + x^2)^3 } }$

$\sf{ \dfrac{ \partial^2 f}{\partial y^2}~=~ \dfrac{\cancel{ (y^2+x^2)}[\frac{ -x(y^2+x^2)-3y(x^2-xy)}{\sqrt{y^2 + x^2}}] }{ (y^2 + x^2)^{\cancel{3}} } }$

$\sf{ \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}~=~\dfrac{ -y^2x - x^3 - 3x^2y + 3xy^2 }{(y^2+x^2)^2\sqrt{y^2+x^2}} }$

$\purple{ \boxed{ \boxed{ \sf{ \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}~=~ \dfrac{ 3xy^2 - 3x^2y - x^3 - y^2x}{(y^2+x^2)^2\sqrt{ y^2 + x^2}} } } } }$

Vamos agora achar o fxx :

Pegando na derivada primeira em relação a x :

$\sf{ \dfrac{\partial}{\partial x}\Big(\dfrac{\partial f}{\partial x}\Big)~=~\dfrac{\partial}{\partial x}\Big( \dfrac{y^2-xy}{(y^2+x^2)\sqrt{ y^2+x^2}}\Big) }$

Aplicando a regra do Quociente vamos ter :

$\sf{ \dfrac{\partial^2f}{\partial x^2}~=~ \dfrac{(y^2-xy)'(y^2+x^2)\sqrt{y^2+x^2} - (y^2-xy)[ (y^2+x^2)\sqrt{y^2+x^2}]'}{[(y^2+x^2)\sqrt{y^2+x^2}]^2 } }$

$\sf{ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}~=~\dfrac{ -y(y^2+x^2)\sqrt{y^2+x^2} - (y^2-xy)[ 2x\sqrt{y^2+x^2} + (y^2+x^2)*\frac{x}{\sqrt{y^2+x^2}} ] }{ (y^2+x^2)^2(y^2+x^2) } }$

$\sf{ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}~=~ \dfrac{ -y(y^2+x^2)\sqrt{y^2+x^2} - (y^2-xy)[ \frac{2x(y^2+x^2)+x(y^2+x^2)}{\sqrt{y^2+x^2}} ] }{(y^2+x^2)^3} }$

$\sf{ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}~=~ \dfrac{ -y(y^2+x^2)\sqrt{y^2+x^2} - \frac{3x(y^2+x^2)(y^2-xy)}{\sqrt{y^2+x^2}} }{(y^2+x^2)} }$

$\sf{ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}~=~ \dfrac{ \cancel{(y^2+x^2)}[ -y\sqrt{y^2+x^2} - \frac{3x(y^2 - xy)}{\sqrt{y^2+x^2}} }{(y^2+x^2)^{\cancel{3}} } }$

$\sf{ \dfrac{\partial^2f}{\partial x^2}~=~ \dfrac{ \frac{-y(y^2+x^2) - 3y^2x + 3x^2y}{\sqrt{y^2+x^2}} }{(y^2+x^2)} }$

$\sf{ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}~=~\dfrac{ -y^3 - x^2y - 3y^2x + 3x^2y }{(y^2+x^2)^2\sqrt{y^2+x^2}} }$

$\pink{ \boxed{\boxed{\sf{ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}~=~\dfrac{ 2x^2y - 3xy^2 - y^3 }{(y^2 + x^2)^2\sqrt{y^2+x^2}} } } }}$